圆与方程专题讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何：圆的方程 一、题型目录 序号 题型 页码 题型一 圆的标准方程与一般方程 2 题型二 点与圆的位置关系 4 题型三 直线与圆的位置关系 6 题型四 圆与圆的位置关系 8 题型五 弦长问题 9 题型六 切线问题 11 题型七 对称问题 13 二、教学内容 知识点一 圆的标准方程与一般方程 【基础知识框架】 1. 圆的定义：到__________的__________相等的点的集合； 2. 圆的两要素：___________与______________； 3. 圆的标准方程：若已知圆的圆心为，半径为，则标准方程为__________________________________； 4. 圆的一般方程：__________________________________，其中； 5. 公式推导： 若已知圆的圆心为，半径为，设点是圆上一点， ， 由两点之间的距离公式得， 化简得，展开得. 5. 待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择____________________； ②根据条件列出关于或的__________； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 6．求轨迹方程的五个步骤 ①________：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标； ②________：写出适合条件的点的集合； ③________：用坐标表示条件，列出方程； ④________：化方程为最简形式； ⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【例题分析】 考向一 求圆的标准方程 例1．（2023·全国·高二专题练习）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为______________. 例2．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是______________. 例3．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 　　 ． 例4．（2022•天津模拟）过点，且与直线相切于点的圆的方程为 　 　． 考向二 求圆的一般方程 例5．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为　_ 　． 例6．（2023秋•武汉期末）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为 　_ 　． 例7．（2022•唐山二模）若圆的圆心在直线上，则的半径为 　 　． 例8．（2023春•连云港期末）若方程表示圆，则实数的取值范围为　 　． 例9．（2023秋•沙坪坝区校级期中）方程表示圆，则实数的取值范围为　 　． 考向三 求曲线的轨迹方程 例10．（2023·全国·高二专题练习）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹方程为　_ 　． 例11. 已知直角的斜边为，且，求： （1）直角顶点的轨迹方程； （2）直角边中点的轨迹方程． 知识点二 点与圆的位置关系 【基础知识框架】 1．点与圆的位置关系 点与圆和的位置关系是： 在圆内⇔_______________________⇔_______________________， 在圆上⇔_______________________⇔_______________________， 在圆外⇔_______________________⇔_______________________。 2.已知点在圆外，点在圆上，则： （1） 的最值问题可转化为______________________________的最值问题 （2） 的最值问题可转化为______________________________的最值问题 【例题分析】 考向一 判断点与圆的位置关系 例1．（2022•南京模拟）点与圆的位置关系是 　 　． 例2．（2023秋•陈仓区校级期末）若坐标原点在圆的外部，则实数的取值范围是 　　． 例3．（2023秋•滨海县期中）若点在圆外，则的取值范围是 　　． 例4．（2023秋•宜春期末）已知点是圆外一点，则的取值范围为 　　． 考向二 以点圆位置关系为背景的距离与斜率最值问题 例5．（2022春•安徽月考）若实数，满足，则的取值范围是　　 A．，， B．， C．，， D．， 例6．（2022•苏州三模）已知点是圆上任意一点，则的取值范围为 　　． 例7．（2020秋•云阳县校级月考）已知实数，满足方程． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 例8．（2023秋•绍兴期末）在平面直角坐标系中，，，，四