直线方程讲义-2024届高三数学二轮复习

解析几何：直线方程 一、题型目录 序号 题型 页码 题型一 直线的倾斜角与斜率 2 题型二 直线的五种方程 5 题型三 交点问题 10 题型四 定点问题 11 题型五 距离问题 12 题型六 对称问题 15 二、教学内容 题型一 直线的倾斜角与斜率 【基础知识框架】 1. 直线的倾斜角 (1) 直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. (2) 直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线 方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. (3) 倾斜角的取值范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 2. 直线的斜率 (1) 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 注：倾斜角是90°的直线没有斜率. (2) 公式 经过两点的直线的斜率公式为. (3) 斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角时，斜率，直线与轴 . 当时，斜率，且倾斜角增大，值随着 . 当时，斜率 (此时直线是存在的，倾斜角也存在，直线与轴垂直）. 当时，斜斜率，且倾斜角增大，值随着 . (4) 直线的方向向量 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量. 若直线的方向向量为，则直线的斜率. 3. 直线的平行与垂直 (1) 若直线与直线平行，则___________________或者_______________________. (2) 若直线与直线垂直，则___________________或者_______________________. (3) 若、、三点共线，则______________ 或者_____________或者_____________. 【例题分析】 考向一 直线的倾斜角与斜率 例1．（2023秋·高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 例2．（2023·全国·高二课堂例题）若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·高二课时练习）已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为 ． 例4．（2023秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例5．（2023秋·高二课时练习）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 例6．（2023秋·高二课时练习）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 考向二 直线的平行与垂直 例7．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知，，三点共线，则实数m的值为 ． 例8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C． D．或 例9．（2023秋·上海长宁·高三上海市延安中学开学考）已知直线与直线垂直，则实数a的值为 ． 例10．（2023秋·高二课时练习）已知直线与垂直，求实数的值. 例11．（2023秋·高二课时练习）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形的形状，并说明理由. 题型二 直线的五种方程 【基础知识框架】 1. 直线的点斜式方程 (1) 直线的点斜式方程的定义 已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . (2) 直线的点斜式方程的推导 若直线经过点，且斜率为，设直线上任意一点. 则 化简得 . 2. 直线的斜截式方程 (1) 直线的斜截式方程的定义 直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的 . 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则直线的方程为 . 这个方程是由直线在轴上的截距及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . (2) 直线的斜截式方程的推导 直线的斜率为，且与轴交于点 由直线得点斜式方程可得 . 化简得 . 3．直线的两点式方程 (1) 直线的两