7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引入复数的必要性 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系 2 情境导入 自然数（正整数与零） 整数 有理数 实数 ？ 计数的需要 表示相反意义的量 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 解方程3x=5 度量的需要 解方程x2=2 解方程x2=－1 思考：为什么要不断地扩充数系？ 数系的每一次扩充都是为了满足社会生产实践的需要 另一方面，数集的每次扩充都是为了解决数学内部的矛盾。 ① 分数解决了在整数集中不能整除的矛盾； ② 负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾； ③ 无理数解决了开方开不尽的矛盾； 到此，数系扩充的脚步就能停止了吗？ 我们解决了吗？ 虚 数 的 历 史 1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念。 1637年法国数学家笛卡尔率先提出“虚数”这个词，并在很多方面得到了应用，“虚数”被证明“不虚”了。 1777年著名的数学家欧拉首次用ｉ表示 -1 的平方根，但认为它们是虚幻的。 1801年，高斯系统地使用这个符号，才使i通行于世。 （1）i2=-1; 叫做虚数单位， 并规定： 引入一个新数i， （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立．(注：0·i=0) 其中a —实部 , b —虚部 , 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 称为虚数单位. 复数的定义:形如 的数叫复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示. 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 复 数 集 虚数 复数 实 数 集 有理数集 自然数集 整 数 集 整数 负整数 自然数 正整数 零 分数 有理数 无理数 实数 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 思考：两个复数能不能比较大小呢？ 相等 两个复数 则 = a=c b=d ⟺ 例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 课本例题 例2　下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ 一、复数的概念 √ 补充例题 解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数. 对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误. 两个虚数不能比较大小，则②错误. 对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误. 显然，④正确. 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 方法技巧： 二、复数的分类 (1)是虚数； 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. (2)是纯虚数. 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 延伸探究 1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 2.已知z＝log2(1＋m)＋i (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围. 解　∵z是虚数， ∴ (3－m)≠0，且1＋m>0， ∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3). 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 方法技巧： 三、复数相等的充要条件 例4　若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比