第01讲 平方根 （重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第01讲 平方根 （重难点突破） 【知识点一、算术平方根】 （1）定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． ④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0． 【知识点二、平方根】 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． （2）平方根的性质 ①一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． （3）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． （4）利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． 【知识点三、平方根与算术平方根的区别】 （1）定义不同； （2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 题型一 求一个数的算数平方根 1、的算术平方根是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵，3的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故选：C． 【变式训练1-1】、下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，故选项错误； B. ，故选项正确； C. ，故选项错误； D.  ，故选项错误． 故选：B． 【变式训练1-2】、下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C 【详解】A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型二 估算算数平方根的取值范围 2、估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 【变式训练2-1】、估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】B 【详解】解：， ， 估计的值在和之间， 故选：B． 【变式训练2-2】、若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：面积为5的正方形的边长为x， ， ， ， ， 故选A． 题型三 算数平方根的实际应用 3、正方形的面积是4，则正方形的边长是（    ） A．2 B． C． D．16 【答案】A 【详解】解：正方形的面积是4，则正方形的边长是， 故选：A 【变式训练3-1】、电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足， 所以电流． 故电流的值为5， 故选：B． 【变式训练3-2】、十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和， ∴可得三个正方形的边长分别为，，， ∴最中间的小正方形的边长为， ∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为， ∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为， ∴大正方形中左下角的正方形的边长为， ∴大正方形中右下角的正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， 故选：C． 题型四 求一个数的平方根 4、下列各数中，不能进行开平方运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】开平方运算是指求一个数的平方根运算，而负数没有平方根，所以不能进行开平方运算的是． 故选B． 【变式训练4-1】、下列各数中没有平方根的数是（   ） A