10.例析带电粒子在匀强磁场中的临界问题-《中学生数理化》高考理化2024年3月刊

■重庆市第四十九中学 廖华英 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当 题目中出现“恰好”“最大”“最小”“至少”等词 语时,往往意味着存在临界现象。求解带电 粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是 借助轨迹圆半径R 和速度v(或磁感应强度 B)之间的约束关系进行动态分析,确定粒子 运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B)的关 系,找出临界状态。下面以两类常见临界问 题为例,阐述解题策略,供同学们参考。 类型一:求解磁场约束条件的临界问题 这类问题主要解决的是欲使带电粒子完 成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强 度的最值或磁场区域的最小面积等问题。 图1 例 1 如 图 1 所 示,坐标系 Oxy 所在空 间区域内分布着垂直于 纸面向内的匀强磁场,在 原点 O 处有一放射源, 它可以在纸面内向四周 均匀地发射质量为m,带电荷量为+q,速率 均为v0 的粒子。厚度不计的竖直挡板 MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为 O',在纸面内挡板两端点 M、N 与原点O 恰 好构成等边三角形。已知挡板两端点 M、N 间的距离为L,不计粒子自身重力及粒子间 的相互作用。 (1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求 磁感应强度的最小值。 (2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感 应强度的最大值。 解析:因为△OMN 为边长为L 的正三 角形,所 以 O、O'两 点 间 的 距 离 LOO' = Lcos 30°= 3L 2 。设磁感应强度为 B,粒子 的轨迹圆半径为r,根据洛伦兹力提供向心 力得qv0B= mv20 r ,解得r= mv0 qB 。因为放射 源发射的粒子的质量均为 m,带电荷量均为 +q,速率均为v0,所以所有粒子的轨迹圆半 径r只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度 B 越大,轨迹圆半径r越小。 图2 (1)要使所有粒子都 不能打到挡板上,则需从 放射源沿y 轴正方向射 出的粒子的轨迹圆在挡 板所在位置右侧。画出 粒子在磁场中的运动轨 迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于 O'点的轨迹圆的半径最大。根据几何知识可 知,最大轨迹圆半径rmax= 1 2LOO'= 3L 4 ,最 小磁感应强度Bmin= 43mv0 3qL 。 (2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡 板的两端点 M、N 均位于从放射源沿y 轴正 方向射出的粒子的轨迹圆内部。画出粒子在 图3 磁场中的运动轨迹 的动态圆,如图3所 示,其中经过 M、N 两点的轨迹圆的半 径最 小。因 为 最 小 轨 迹 圆 的 内 接 △OMN 为 正 三 角 形,所以最小轨迹圆 半径rmin= L 2cos 30°= 3L 3 ,最大磁感应强度Bmax= 3mv0 qL 。 点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中 73 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月 的受约束运动。因为所有粒子的入射速度大 小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强 磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀 强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转 圆。解答本题的关键是根据几何知识判断出 粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时 的轨迹圆与约束条件的关系。 图4 例 2 在平面直角坐 标系Oxy 中,曲线y= x2 20 位于第一象限的部分如图 4所示,第三象限内分布着 方向竖直向上的匀强电场 和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画 出),磁感应强度B= π 10 T。在曲线上不同 点以初速度v0 向x 轴负方向水平抛出质量 为m,带电荷量为+q的小球,小球下落过程 中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰 好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的 过程中都能打到y 轴的负半轴上。取重力加 速度g=10 m/s2,qm=100 C/kg。求: (1)电场强度E 的大小。 (2)小球的初速度v0。 (3)为了使所有的小球都能打到y 轴的 负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积。 解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做 匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力 平衡,即mg=qE,解得E=0.1 N/C。 (2)设小球的抛出点坐标为(x,y),根据 平抛运动规律得x=v0t,y= 1 2gt 2,整理得 y= g 2v20 x2,又有y= x2 20 ,则 g 2v20 = 1 20 ,解得 v0=10 m/s。 (3)设小球进入第三象限时的速度为v, 与x 轴负半轴间的夹角为α,则v0=vcos α。 根据洛伦兹力提供向心力得qvB= mv2 r ,解 得r= mv qB 。根据几何知识可知,小球打在y 轴负 半 轴 上 的 点 与 原 点 间 的 距 离 H = 2rcos α= 2mv0 qB ,可见所有小球均从y 轴负半 轴上同一点进入第