8.如何求最短运动时间-《中学生数理化》高考理化2024年3月刊

■上海师范大学附属中学 张燕飞 最短运动时间问题是力学习题中较为常 见的问题,遇到此类问题应该如何处理呢? 下面总结了几种常用方法,供同学们参考。 一、图像法 图像法能够直观、形象、简洁地展现两个 物理量之间的关系,清晰地表达物理过程,正 确地反映实验规律。利用图像法需要注意: (1)图像坐标,弄清图像反映了哪两个物理量 之间的关系,明确图像坐标表示的物理量的 单位;(2)图像的变化,根据图像的走向确定 一个物理量随着另一个物理量变化的趋势; (3)图像的斜率,根据斜率的数学定义k= Δy Δt 和物理概念的定义确定图像斜率的物理 意义,如位移—时间图像(不论直线、曲线)的 斜率k= Δx Δt ,根据速度的定义式v= Δx Δt 可 知,图像上某一点的切线斜率等于这一时刻 物体的瞬时速度,图像上两点连线的斜率表 示这段时间内物体的平均速度;(4)截距,明 确图像与横轴或纵轴交点坐标的物理意义, 如在闭合电路中路端电压随电流的变化图像 中,纵轴截距表示电源的电动势,横轴截距表 示短路电流;(5)面积,明确图像与横轴(纵 轴)所围图形的面积的物理意义,如F-t图像 与横轴所围图形的面积S=Ft表示力F 在 时间t内的冲量;(6)交点,当同一个坐标系 中有两个相交图像时,交点坐标表示两个过 程中的共同的物理状态,如两个速度—时间 图像的交点坐标表示在这一时刻两物体具有 相同的速度,表示U=E-Ir和U=IR 的两 个U-I图像的交点坐标表示电阻为R 的元 件与电动势为E、内阻为r 的电源构成闭合 回路时的工作状态。 例 1 质点从甲地由静止出发到乙地 停下,加速过程与减速过程的加速度大小均 为1 m/s2,已知甲、乙两地相距100 m。求质 点从甲地到乙地所用的最短时间。 解析:质点从甲地由静止出发到乙地停 下,若想质点的运动时间最短,则需利用图像 法分析质点的运动状态。作出质点的v-t图 像如图1所示,观察图像可以发现,通过相同 的路程(v-t图像与横轴所围图形的面积相 同),质点先做匀加速运动后做匀减速运动, 所用的时间最短。质点在加速过程与减速过 程中的加速度大小相同,根据对称性可知,质 点做匀加速运动和匀减速运动所用的时间均 为 t 2 ,质点做匀加速运动产生的位移大小和 做匀减速运动产生的位移大小相同,则x= 2× 1 2a t 2 2 ,其中x=100 m,a=1 m/s2,解 得t=20 s。 图1 二、物理公式法 物理公式法是适用于大部分最短运动时 间问题的求解方法。利用物理公式法需要注 意:(1)过程分析,若没有最大速度限制,则物 体直接以最大加速度做匀加速运动;若有最 大速度限制,则需先以最大加速度做匀加速 运动达到某个速度(小于或等于最大速度), 再以此速度做匀速运动;若要求到达目的地 时的速度为零,则还需要以最大加速度做匀 13 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月 减速运动,使得物体到达目的地时恰好减速 为零。(2)正确理解公式,如速度公式v= v0+at,位移公式x=v0t+ 1 2at 2,速度与位 移的关系式v2-v20=2ax,位移与平均速度 的关系式x=vt= v1+v2 2 t ,中间时刻的瞬时 速度与这段时间的平均速度的关系式vt 2 = v= v1+v2 2 = x t ,每经过相同时间物体的位移 增量式Δx=aT2 等仅适用于匀变速直线运 动,且各式均为矢量式,应用时应先规定正方 向,另外这些公式都含有四个物理量,应用时 应尽量选用未知量少的公式,以便简化解题 的过程。 例 2 竖井中的升降机可将地下深处 的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为 104 m,升降机运行的最大速度为8 m/s,加 速度大小不超过1 m/s2。假定升降机到井口 时的速度为0,求将矿石从井底提升到井口 所用的最短时间。 解析:升降机从井底由静止上升到井口 时要停止运动,若想所用时间最短,则需升降 机先以最大加速度做匀加速运动,达到最大 速度后以最大速度做匀速运动,再以最大加 速度做匀减速运动,到达井口时速度为0。 根据运动学公式可得,升降机做匀加速运动 所用的时间t1= vmax a =8 s,位移h1= v2max 2a = 32 m;升降机做匀减速运动所用的时间t3= vmax a =8 s,位移h3=h1=32 m;升降机做匀速 运动产生的位移h2=h-h1-h3=40 m,所 用的时间t2= h2 vmax =5 s。因此将矿石从井底 提升到井口所用的最短总时间t=t1+t2+ t3=21 s。 例 3 要求摩托车由静止开始在尽量 短的时间内先走完一段直道,再驶入一段半 圆形的弯道,