（2024年高考数学专题）空间向量与立体几何知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）空间向量与立体几何知识精讲+大题特训 知识精讲 一、空间向量基本定理 1. 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据向量加法的三角形 法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形和化简，从 而求出结果. (3)下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间中所有向量，且表示要彻底，表示 的结果中只能含有基向量，不能含有其他的向量. 二、空间向量的坐标表示及其运算 1. 确定空间任意一点P的坐标的常用方法 (1)垂面法：即找到点P在三条坐标轴上的投影. 方法是过点P作三个平面分别垂直x 轴，y轴，z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C在x轴，y轴，z轴上分别对应a，b，c，则(a，b，c)就是点P的坐标. (2)垂线段法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由的长度及方向确定竖坐标z，再在xOy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z). 2. 用坐标表示空间向量的步骤 3. 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，其运算法则仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算. 空间向量的坐标运算法则与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用. 三、利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 1. 求解此类问题要抓住两个核心关系式 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则 (1)a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1； (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 2. 利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题的方法 （1）建坐标系：根据题目中的几何图形建立适当的空间直角坐标系 （2）定坐标：通过点的坐标确定相关向量的坐标 （3）译语言：将立体几何问题中的几何语言“翻译”成向量中的对应语言 （4）用运算：借助向量的运算和性质完成几何问题的证明 （5）得结论：得出正确的结论 四、利用空间向量的坐标运算求夹角、长度 1. 求异面直线夹角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标； (2)求出异面直线a，b的方向向量的坐标a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)； (3)利用公式cos<a，b>=进行求解； (4)设异面直线a，b的夹角为θ，则cos θ=|cos<a，b>|. 2. 求空间中两点间的距离的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)； (2)利用公式|AB|=||= =求A，B间的距离. 大题特训 1． 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 2．将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体.已知，点在线段上，为圆弧的中点. （1）当是线段的中点时，求异面直线写所成角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在求出线段的长，如果不存在，说明理由. 3．如图，四棱锥中，平面，，过的平面分别与棱交于点. （1）求证：； （2）记二面角的大小为，求的最大值. 4．由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，底面ABCD为正方形，点O为线段AC与BD的交点，点E为线段AD中点，平面 （1）证明：平面； （2）若点M为线段包含端点上一点，求EM与平面所成角的正弦值的最大值. 5．如图，是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影． （1）若，求到平面的距离； （2）设为线段上一点，且，证明：平面． 6．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若与所成角为，求二面角的余弦值． 7．如图，直三棱柱中，点D，E分别为棱的中点，． （1）设过A，D，E三点的平面交于F，求的值； （2）设H在线段上，当的长度最小时，求点H到平面的距离． 8．如图， 在正四棱柱 中， . 点 分别在棱 上， ， . （1）证明：； （2）点在棱 上， 当二面角 为时， 求. 9．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形， ， ， 分别是棱 ， 的中点，且 . （1）证明：平面 平面 . （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点． （1）求证：平面平面；