题型六 几何最值（复习讲义）-2024年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破（全国通用）

题型六几何最值（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段. 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 考点01胡不归 胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。 2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα= 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题 【模型展示】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 考点02阿氏圆 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB∽△CAP 推出 PA2 ，即：半径的平方=原有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 考点03费马点 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点. 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题 【模型展示】 问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小． 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 考点04瓜豆原理 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ②见定角，找对边，想周角，转心角，现