第12讲 利用导数研究不等式能成立问题-2023-2024年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数系统班-同步 第12讲 利用导数研究不等式能成立问题 例1 已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 例2 若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例3 已知函数． (1)求函数的极值； (2)证明：当时，，使得． 练1 若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 练2 已知函数．若曲线上存在点，使得，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练3 若存在单调递减区间，则正数的取值范围是 . 练4 已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 练5 已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，，使得. 【强化训练】 1.已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 2.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，，使得． 3.已知函数，且. (1)求实数的值； (2)证明：存在，且时，. 4.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 5.设 R，已知函数， (1)讨论函数 的单调性； (2)设 Z，若有解，求 的最小值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$导数系统班-同步 第12讲利用导数研究不等式能成立问题 例1已知函数f(x)=xnx-a2,3x,使得f(x)≥0成立，则实数a的最大值为 例2若存在正实数x,y,使得笔式4x+(y-3ex)ny-lnx)=0成立，其中c为自然对效的底数， 则实数a的取值范围() A.(-o,0)U[e,+ol B.amou[g+ C.(-o,0U[4e2,+o） D.(aou[k 第1页共7页 导数系统班-同步 例3已知函数f(x)=ar-lnr. (1)求函数f(x)的极值； (2)证明：当0<a<1时，3re(0,+oo,使得f(x)<3a-a2-ln2. 练1若存在正数x,使得不等式g<n(am)有解，侧实数a的取值范围是一。 第2页共7页 导数系统班-同步 练2已知函数f(x)=Ve'+x-a.若曲线y=sinx上存在点(x,),使得ff()》=%,则实数 a的值可以是() A.0 B.1 C.2 D.3 练3若f(x)=e-x(lnr-2(a>0)存在单调遂减区问，测正数a的取值范围是 第3页共7页 导数系统班~同步 练4已知函数fx)=snx )当xQ时，求函数/国的藏小使； (2)若g)=-+3x-a,且对0引都西e02,使得)g)成立，求实数知的取 值范图. 练5已知函数f(x)=-2mlnx-x2+2(m+l)x,m>0. (I)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：当m>1时，3x∈(1，+o）,使得f(x)>3m-m2+1. 第4页共7页 导数系统班-同步 【强化训练】 1.已知f)=xnK,gx)=xe,若存在∈(0，+o,∈R,使得fx)=gx)>0成立，则点的员大 值为。· 2.已知函数f(x)=ar-lnx. (1)讨论图数f(x)的单调性； (2)证明：当0<a<1时，3re(0,+oo),使得f(x)<3a-a2-lh2. 第5页共7页 导数系统班-同步 3.已知函数g(x)=ar-a-lnx,f(x)=g(x),且g(x)≥0. (1)求实数a的值； (2)证明：存在，f'(x)=0且0<x<1时，f(x)sf(x) 4.已知函数f(x)=nx+2ax(aeR). (I)当a=-1时，求函数f(x)的单调区问： (2)带g(x)=f(x)-2x2,不等式g(x)≥-1在山，+∞)上存在实数解，求实数a的取值范围. 第6页共7页 导数系统班-同步 5.设aeR,已知通数f=c(r-刂小-r, (1)讨论函数f(x)的单调性； 2)没eZ,若/心)=nr-号r2+长有解，求k的最小值 第7页共7页导数系统班-同步 第12讲 利用导数研究不等式能成立问题 例1 已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先不等式参变分离为在能成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可求解. 【详解】在能成立，即在能成立， 即，， 令，则，令有， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，即实数的最大值为. 故答案为： 例2 若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给等式，分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意存在正实数x，y，使得等式成立， ， 当时，，不符合题意，所以 令，，，