第11讲 空间的垂直问题（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第11讲 空间的垂直问题 【人教A版2019】 ·模块一 空间直线、平面的垂直（一） ·模块二 空间直线、平面的垂直（二） ·模块三 课后作业 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. (4)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. (3)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (4)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【考点1 异面直线所成的角】 【例1.1】（23-24高二下·湖北·开学考试）正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．1 【例1.2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在两条异面直线上分别取点和点，使，且.已知，则异面直线所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高三下·广东·开学考试）  如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【考点2 线面垂直的判定】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.当点是棱的中点时，求证：直线平面； 【例2.2】（2024·陕西西安·一模）如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，． (1)求证：平面； (2)求该几何体的体积和表面积． 【变式2.1】（2024·四川宜宾·二模）如图，在四棱锥中，平面，是的中点. (1)求证：平面； (