第10讲 空间的平行问题（春季讲义）-2023-2024学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第10讲 空间的平行问题 【人教A版2019】 ·模块一 空间中的平行关系 ·模块二 平行关系的相互转化及综合应用 ·模块三 课后作业 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【考点1 直线与直线平行的判定】 【例1.1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2】（23-24高一·全国·课时练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ） A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行 【变式1.1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，E，F分别是AB，AC上的点，且，则EF与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或相交 【考点2 直线与平面平行的判定】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）直三棱柱中，，，，点、分别为和的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.证明： 平面. 【变式2.1】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【变式2.2】（22-23高一下·江苏无锡·期中）如图所示，在四棱锥中， 平面，E是的中点. (1)求证：//平面 (2)求证：//平面. 【考点3 平面与平面平行的判定】 【例3.1】（2023高三·全国·专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面； 【例3.2】（22-23高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 【变式3.1】（22-23高一下·广东东莞·期中）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，    (1)若，求三棱锥的体积 (2)当点在什么位置时，平面平面? 【变式3.2】（