8.2.4 三角恒等变换的应用（3知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

8.2.4 三角恒等变换的应用 课程标准 学习目标 （1）了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； （2）掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明； （3）能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式。 （1）能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法； （2）能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。 知识点01 半角公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。 【即学即练1】（22-23高二下·新疆·期末）若，且，则（ ） A． B． C． D． 知识点02 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 【即学即练2】（23-24高一·全国·练习）（ ） A． B． C． D． 知识点03 万能公式 1、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 2、万能公式的推导 或 【即学即练3】（2022·四川眉山·模拟预测）若，，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【题型一：利用半角公式、万能公式求值】 例1．（23-24高一·全国·练习）设，，则等于（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知，则 . 变式1-2．（22-23高三上·江苏泰州·月考）已知，则 ． 变式1-3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【方法技巧与总结】 解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求得，，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。 特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号。 【题型二：积化和差与和差化积公式的应用】 例2．（22-23高一下·江西南昌·月考）求值： . 变式2-1．（22-23高一·江西赣州·月考）cos15° sin 105°=（ ） A．+ B．- C．+1 D．-1 变式2-2．（22-23高一上·河北·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 变式2-3．（22-23高一上·安徽六安·月考）（多选）下列四个关系式中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆。 【题型三：简单的三角函数式化简与证明】 例3．（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中． 变式3-1．（23-24高一·全国·练习）已知，求证：． 变式3-2．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. （1）; （2）. 变式3-3．（22-23高一下·上海青浦·月考）（1）化简： （2）证明恒等式： 【方法技巧与总结】 解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简。 【题型四：三角恒等变换在三角形中的应用】 例4．（23-24高一上·全国·练习）在中，，则 . 变式4-1．（22-23高一下·天津·期中）关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 变式4-2．（22-23高一上·河北廊坊·期末）在中，已知，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C