5.3.2函数的最大(小)值第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的最大(小)值 （第2课时） 1.一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 复习引入 2.最值在极值点或区间端点取得. 3.求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值点与端点处的函数值， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值. 例1.已知函数求函数在上的最小值． 解： ， 令 ，解得 ， ． ①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ． ②当 时， ， 在 上单调递增，所以 ． ③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ． 综上所述，当 时， 的最小值为 ； 当 时， 的最小值为0； 当 时， 的最小值为 ． 对于含参函数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定． 例3.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37， 求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值． 解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.f(0)>f(2)>f(－2)， 所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. 所以当x＝0时，f(x)max＝3. 已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 8 恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则不等式恒成立. (2)要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立. 例4.设函数f (x)＝x3－eq \f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是________． f ′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq \f(2,3). f (－1)＝eq \f(11,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq \f(157,27)，f (1)＝eq \f(7,2)，f (2)＝7， ∴m＜eq \f(7,2). $$