5.3.2函数的最大(小)值第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的最大(小)值 （第1课时） 复习引入 函数最大值和最小值： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是某个区间上函数的最大(小)值点，那么不小(大)于函数在此区间上的所有函数值. l 这节课我们来研究函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 问题1.下图是函数y=f(x),x∈[a,b]的图象,你能找出它的极小(大)值吗? 追问 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 最大值：f(a) 最小值：f(x3) x y O a b x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 最大值：f(b) 最小值：f(a) 最大值：f(x3) 最小值：f(x4) 问题2.观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象,它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 问题3.以上函数既有最大值，又有最小值，它们有什么共同特点？ 追问1.是不是所有的函数都有最大（小）值？什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 追问2.闭区间上的连续函数的最值在什么位置取得？ 最值在极值点或区间端点取得. 追问3.如何求函数的最大（小）值呢？ 求最值的方法：只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 追问4.函数最值与极值有什么关系？ 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的， 函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在区间内或端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 例1. 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值点与端点处的函数值， 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值. l 解： x 0 (0, ) (, 2) 2 f′(x) f(x) 练习1. 解： x －4 （－4，－3） －3 （－3，3） 3 （3，4） 4 f′(x) f(x) 练习1. 解： x － (－, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) 练习1. 解： 练习1. 所以,当x=1时, s(x)取得最小值. x (0, 1) 1 ( 1, +∞) s '(x) 0 s (x) – + 单调递减 单调递增 所以, s(x) ≥ s(1)=0, 即 设 ,那么 故当x>0时, . 解：将不等式 转化为 证明： 练习 ⑶如何利用函数的最值证明不等式？ 课堂小结 通过本节课的学习，回答下列问题？ ⑴如何求函数在闭区间上的最值？ ⑵函数的最值与极值之间的区别与关系？ 一般地，求函数y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数f′x； 2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个； 3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； 4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；