5.3.2函数的极值（第2课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值 (第2课时) 复习引入 3 4 例1.已知函数 f (x)=x-aln x (a∈R),求函数 f (x) 的极值. ①当a ≤ 0时,f ′(x) > 0,函数 f (x) 为 (0,+∞) 上的增函数,函数 f (x) 无极值; ②当a > 0时,由 f ′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a) 时,f ′(x) < 0, 当 x∈(a,+∞) 时,f ′(x) > 0, 从而函数 f (x) 在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f (a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 f (x) 无极值; 当a > 0时,函数 f (x) 在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. 解:由 f ′(x)=1- = ,x > 0,知 例2.已知函数 f (x)=(x2+ax-2a2+3a) e x (a∈R),当实数 a ≠ 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值. 解:f ' (x)=[x2+(a+2)x- 2a2 + 4a]ex. 令 f '(x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2,由a ≠ 知-2a ≠ a-2. 分以下两种情况讨论: ①若a > ,则-2a < a-2. 当 x 变化时,f ' (x),f (x) 的变化情况如下表: 所以 f (x) 在(-∞, -2 a),(a-2, +∞)上是增函数,在(-2a, a-2)上是减函数, 函数 f (x) 在 x=-2a 处取得极大值 f (-2 a),且 f (-2a) = 3ae-2a,函数 f (x) 在 x=a-2 处取得极小值 f (a-2),且 f (a-2) =(4-3a)ea-2. x (-∞, -2a) -2a (-2a, a-2) a-2 (a-2, +∞) f ′(x) + 0 - 0 + f (x) 极大值 极小值 ②若a < ,则-2a > a-2. 当 x 变化时,f ' (x),f (x) 的变化情况如下表: 所以 f (x) 在(-∞, a-2),(-2a, +∞)上是增函数,在(a-2, -2a)上是减函数,函数 f (x) 在 x=a-2 处取得极大值 f (a-2),且 f (a-2) =(4-3a)ea-2,函数 f (x) 在 x=-2a 处取得极小值 f (-2a),且 f (-2a) =3ae-2a. x (-∞, a-2) a-2 (a-2, -2a) -2a (-2a, +∞) f ′(x) + 0 - 0 + f (x) 极大值 极小值 例2.已知函数 f (x)=(x2+ax-2a2+3a) e x (a∈R),当实数 a ≠ 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值. 例3.已知函数 f (x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值0,则 a=_,b=_. 解:因为 f (x) 在 x=-1 时有极值0,且 f ′(x)=3x2+6ax+b, 当 a=1,b=3时,f ′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2 ≥ 0, 所以 f (x) 在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f ′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈(-3, -1) 时,f (x)为减函数, 当 x∈(-1, +∞) 时,f (x)为增函数, 所以 f (x) 在 x=-1 处取得极小值,因此 a=2,b=9. 练习3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a=( ) A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3 解析:(1)f′(x)=3x2+2ax+b, 依题意得即 解得或 但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以不符合题意,应舍去.而当时,经检验知符合题意,故a,b的值分别为4,-11. 11 练习4.函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a>0)在(-∞,+∞)上无极值,求实数a的取值范围. 解析:若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点, 则f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数, 即f′(x)=3ax2-4x+1≥0或f′(x)=3ax2-4x+1≤0恒成立. 因为a>0,所以f′(x)=3ax2-4x+1≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 则有 =(-4)2-4 3a 1≤0. 解得a≥, 故实数a的取值范围是[,+∞). 一般地,求函数y=f x 的极值的步骤 1 求出函数的定义域及导数f′ x ; 2 解方程f′ x =0,得方程的根x0 可能不止一个 ; 3 用方程f′ x =0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,可将x,f′ x ,f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格