4.4 第2课时 二项式系数的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

第2课时　二项式系数的性质 [学习目标]　1．了解杨辉三角，并探索其中的规律．2．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用． 知识点　二项式系数的性质 (1)对称性：二项式系数f(r)关于直线r＝对称，即f(r)＝f(n－r)．在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C． (2)单调性和最大值：二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和： ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5．求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)a0＋a2＋a4； (5)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (6)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4． 解析：　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1． (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5． 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k， 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243． (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121． (4)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35． 所以a0＋a2＋a4＝＝122． (5)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32． 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31． (6)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数得 10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4． 令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10． 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝． 即时练1．(1)若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则＋＋…＋＝________；|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|＝________． (2)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________． 解析：　(1)令x＝0，得a0＝1． 令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0．∴＋＋…＋＝－a0＝－1． ∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022＝32 022， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|＝32 022． (2)原等式两边求导，得10(2x－3)4＝a1＋2a2x1＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4． 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10． 答案：　(1)－1　32 022　(2)10 应用一、二项式系数性质的应用 已知f(x)＝展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解析：　令x＝1，则展开式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n．由题意知，4n－2n＝992． ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5． (1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T3＝·(3x2)2＝90x6，T4＝·(3x2)3＝． (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x(5＋2r)， 假设Tr＋1项系数最大， 则有 ∴ 即 ∴≤r≤，∵r∈N， ∴r＝4， ∴展开式中系数最大的项为T5＝＝． 展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．　　 即时练2．(1)求(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项． (2)求(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项． 解析：　(1)(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项， T4＝C(2x)3＝280x3，T5＝C(2x)4＝560x4． 设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝C2rxr及题意知， Tr＋1的系数不小于Tr和Tr＋2的系数，即 解得≤r≤，r＝0，1，2，…，7，所以r＝5，即第6项的系数最大，T6＝C(2x)5＝672x5． (2)(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项，T4＝C(－2x)3＝－280x3，T5＝C(－2x)4＝560x4． 设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝(－2)rCxr，易知系数最大时，r必为偶数，即Tr＋1＝2rCxr． 因为C<C＝C<C<C，22×C<26×C，所以系数最大项只能是T5或T7． 因为T5＝C(－2x)4＝560x4，T7＝C(－2x)6＝448x6，所以系数最大项是T5＝560x4． 应用二、与杨辉三角有关的问题 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值． 解析：　由题意及杨辉三角的特点可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…9) ＝C＋ ＝164． 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 即时练3．如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________． 解析：　法一：由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1． 法二：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{a}， 则有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1， 相加得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1) ＝×(n－2)＝， ∴an＝2＋＝． 答案：　 即时练4．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________． 解析：　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1． 答案：　2n－1　32 1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是(　　) A．2　 　 B．4　　 　　 C．6　 　　　 D．8 C　[从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a＝3＋3＝6． 故选C．] 2．已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于(　　) A．240 B．120 C．48 D．36 A　[由题意2n＝64，解得n＝6，则＝， 则二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C··＝26－r·C·， 令3－r＝0，即r＝2，则26－r·C＝24·C＝240． 故选A．] 3．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． 解析：　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1．① 又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k，∴当k＝4时，x4的系数a4＝16．② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15． 答案：　－15 4．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x的项的系数为112． (1)求m，n的值； (2)求展开式中奇数项的二项式系数之和； (3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2的项的系数． 解析：　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8．Tk＋1＝，含x项的系数为Cm2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2，8． (2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＋C＝28－1＝128． (3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8， 所以含x2的项的系数为C24－C22＝1 008． 课时精练(四十四)　二项式系数的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．下面是(a＋b)n，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(　　) A．5，9　　 　B．5，10 　 　 C．6，10　　 D．6，9 C　[结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C．] 2．设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 A　[因为展开式的第5项为T5＝，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项．] 3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　[令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2．] 4．已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的项为(　　) A．270x－1 B．270x C．405x3 D．243x5 B　[令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3． 的展开式的通项为Tr＋1＝C·(3x)5－r·＝(－1)r·35－r·C·x5－2r． 当r＝0时，35＝243； 当r＝2时，33·C＝270； 当r＝4时，3·C＝15． 所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x．] 5．(多选)已知(ax2＋)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 BCD　[由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，即C＝C，可知n－4＝6，即n＝10， 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，＝1 024，所以a＝1， 所以二项式为＝， 则二项式系数和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，故A错误； 由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为x2与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，由通项Tr＋1＝Cx2(10－r) 可得2(10－r)－r＝0，解得r＝8，故C正确； 由通项Tr＋1＝Cx2(10－r) 可得2(10－r)－r＝15，解得r＝2，所以系数为C＝45，故D正确， 故选BCD．] 6．二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于________． 解析：　因为二项式(2x＋1)6展开式的通项公式Tr＋1＝C·(2x)6－r·1r， 所以T5＝C(2x)2＝60x2． 答案：　60 7．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝__________． 解析：　令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， 所以a0＋a2＋…＋a2n＝． 答案：　 8．(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和为________． 解析：　要求(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项， 只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和． 令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1． 答案：　1 9．已知(n∈N＋)的展开式中第7项是常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解析：　(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cxn－r， 因为第7项为常数项，所以第7项T7＝ Cxn－9, 即n＝9． (2)因为n＝9，所以二项式系数最大的项为T5与T6， 即T5＝Cx3＝x3， T6＝． 10．(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4，求n的值． (2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N＋， ①求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|； ②设ak＝(－2)kbk，求和：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1． 解析：　(1)∵(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4， ∴＝，解得n＝4． (2)①由题意 (1＋2x)2n＋1＝|a0|＋|a1|x＋…＋|a2n＋1|x2n＋1， 令x＝1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|＝32n＋1． ②由题意ak＝C(－2)k，又ak＝(－2)kbk， ∴bk＝C． ∴(k＋1)bk＝(k＋1)C＝kC＋C＝k＋C＝＋C ＝(2n＋1)C＋C，k>0， ∴1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1＝1·C＋2·C＋3·C＋…＋(k＋1)·C＋…＋(2n＋2)·C＝＋(2n＋1)＝22n＋1＋(2n＋1)22n＝(2n＋3)·22n． [能力提升] 11．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．－3 C．1 D．1或－3 D　[令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1．令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6．又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63， ∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3．] 12．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最大 AC　[(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确； 因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确．故选AC．] 13．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________． 解析：　(1＋x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6． 答案：　6 14．已知的展开式的二项式系数之和为256． (1)求n的值； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解析：　(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8． (2)设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝Cx8－r＝Cmrx8－2r． 令8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝， 解得m＝±． (3)易知m>0，设第r＋1项系数最大． 则 化简可得≤r≤． 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m只能等于2． [拓展应用] 15．已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 B　[设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B． 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…． 由已知可知：B－A＝38．令x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即：B－A＝(－3)n．∴(－3)n＝38＝(－3)8， ∴n＝8． 由二项式系数的性质可得： C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1．] 16．已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30．求： (1)展开式中的所有有理项； (2)n＋6C＋36C＋…＋6n－1C的值； (3)系数的绝对值最大的项． 解析：　展开式的通项Tr＋1＝C()n－r·＝C·(－2)rx(r＝0，1，…，n)， 由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去)． (1)展开式的通项Tr＋1＝C(－2)r· (r＝0，1，2，…，12)，当r＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26Cx＝59 136x， T13＝212Cx－4＝4 096x－4． (2)n＋6C＋36C＋…＋6n－1C ＝C＋6C＋36C＋…＋611C ＝(1＋6C＋62C＋63C＋…＋612C)－ ＝×(1＋6)12－ ＝． (3)设第r＋1项的系数的绝对值最大， 因为Tr＋1＝C(－2)r· (r＝0，1，2，…，12)， 则 即 解得≤r≤， 所以r＝8， 所以系数的绝对值最大的项为T9＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$