4.2 第1课时 排列与排列数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

4．2　排列 第1课时　排列与排列数 [学习目标]　1．通过实例，理解排列的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式． 知识点一　排列的概念 1．定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．排列相同的条件 两个排列相同，当且仅当这个排列的元素及其排列顺序完全相同． 下列问题是排列问题的为________． ①选2个小组分别去植树和种菜； ②选2个小组分别去种菜； ③某班40名同学在假期互发短信； ④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除； ⑤10个车站，站与站间的车票． 解析：　①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题； ②不存在顺序问题，不是排列问题； ③存在顺序问题，是排列问题； ④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； ⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． 答案：　①③④⑤ 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 即时练1．判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选10人组成一个学习小组； (3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 解析：　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)不存在顺序问题，不属于排列问题． (3)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(3)是排列问题，(1)(2)不是排列问题． 知识点二　排列数及排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 A 全排列 从n个不同的元素取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列．此时， A＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示．于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n！．规定0！＝1 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，且m≤n) 阶乘式 A＝(m，n∈N＋，且m≤n) (1)计算； (2)求证：A＋2A＋3A＋…＋nA＝(n＋1)！－1． 解析：　(1)法一： ＝ ＝ ＝． 法二：＝＝＝． (2)证明：法一：∵A＝2A－A＝A－A， 2A＝3A－A＝A－A， 3A＝4A－A＝A－A， … nA＝(n＋1)A－A＝A－A， ∴左边＝(A－A)＋(A－A)＋(A－A)＋…＋(A－A) ＝A－A ＝(n＋1)！－1 ＝右边， ∴原式成立． 法二：∵(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝nA＋A＝nA＋nA＝nA＋(n－1)A＋A＝nA＋(n－1)A＋(n－2)A＋A＝…＝nA＋(n－1)A＋…＋2A＋A＋A， ∴(n＋1)！－A＝A＋2A＋3A＋…＋nA， ∴原式成立． 排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．　　 即时练2．解不等式：3A>4A． 解析：　由3A>4A，得>， 所以>， 化简得x2－19x＋78>0，解得x<6或x>13． 又1≤x≤8且1≤x－1≤9，x∈N＋， 所以2≤x<6，x∈N＋，所以x＝2，3，4，5， 即不等式的解集为{2，3，4，5}． 排列数公式的简单应用 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析：　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种)． 解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序． (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件． (3)运用排列数公式求解． 即时练3．(1)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ (2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？ 解析：　(1)这是6个元素的全排列问题，其排列数A，即为一天的课程的排法种数． (2)解决这类问题可以分为两步： 第1步：把4名体育生分配到4个不同的班有A种方法，第2步：把4名美术生分配到4个不同的班，有A种方法，由分步乘法计数原理得共有N＝AA＝576(种)分配方案． 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B．甲乙丙、乙丙甲 C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D．甲乙、甲丙、乙丙 C　[从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．] 2．若A＝10A，则n＝(　　) A．6　　　 　 B．7　　　 　 C．8　　　 　 D．9 C　[因为A＝10A，所以n≥3，n∈N＋， 所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)， 即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8．故选C．] 3．从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有________个． 解析：　画出树形图如图所示： 因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc． 答案：　12 4．写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 解析：　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种． (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图． 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种． 课时精练(三十九)　排列与排列数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　) A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 BCD　[选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．] 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A　 B．A　　　 C．A　　　 D．A C　[89×90×91×92×…×100＝＝＝A．] 3．已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5．] 4．2022北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为(　　) A．12 B．24 C．36 D．60 D　[由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．] 5．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 B　[列树形图如下： 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．] 6．＝________． 解析：　＝＝36． 答案：　36 7．满足不等式>12的最小正整数n的值为________． 解析：　＝＝>12 得：(n－5)(n－6)>12． 解得： n>9或n<2(应舍去)． 答案：　10 8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________． 解析：　画出树形图如下： 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed． 答案：　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 9．(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)； (2)计算； (3)求证A－A＝mA． 解析：　(1)∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A． (2) ＝ ＝＝1． (3)证明：法一：∵A－A＝－ ＝·＝· ＝m·＝mA， ∴A－A＝mA． 法二：A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有A个． 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法． 故A＝mA＋A， ∴mA＝A－A． 10．判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解析：　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． [能力提升] 11．已知自然数x满足3A＝2A＋6A，则x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[∵自然数x满足3A＝2A＋6A， ∴3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，由x是正自然数，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，∴x＝4．] 12．一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么，这样的三位数共有(　　) A．240个 B．249个 C．285个 D．330个 C　[因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， 所以当十位数字是0时有9×9＝81种结果， 当十位数字是1时有8×8＝64种结果， 当十位数字是2时有7×7＝49种结果， 当十位数字是3时有6×6＝36种结果， 当十位数字是4时有5×5＝25种结果， 当十位数字是5时有4×4＝16种结果， 当十位数字是6时有3×3＝9种结果， 当十位数字是7时有2×2＝4种结果， 当十位数字是8时有1种结果， 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果．] 13．已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为______个． 解析：　确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步乘法计数原理知N＝3×4×2＝24(个)． 答案：　24 14．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数． 解析：　(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法． 由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数． 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321． (2)直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312． [拓展应用] 15．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　) A．　　 B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C． D．A·A AD　[∵A＝， 而A·A＝n·＝， ∴A＝A·A．故选AD．] 16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药只能同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 解析：　如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． 学科网（北京）股份有限公司 $$