2.3.2 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．3．2　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一　求相交直线的交点坐标 [问题导引]　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0． 即交点坐标是方程组的解． 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点． 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解析：　法一：由方程组 解得 即l1与l2的交点坐标为(－2，2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k＝＝－1． 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0． 法二：∵l2不过原点， ∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0． 将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0． 求与已知两直线的交点有关问题的解法 (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解． (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．　　 即时练1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解析：　法一：由方程组 得即P(0，2)． ∵l⊥l3，l3的斜率为， ∴kl＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x， 即4x＋3y－6＝0． 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0． ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0． 知识点二　判断两直线位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [提醒] (1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． 解析：　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)解方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0． ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．　　 即时练2．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________． 解析：　由得 由得所以－<a<2． 答案：　 直线系过定点问题 (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是________． (2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程． 解析：　(1)直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0． 由题意，可得 所以x＝－2，y＝1， 所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1)． (2)法一：由方程组 解得 因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行． 所以直线l的斜率k＝－3． 所以根据点斜式有y－ ＝－3． 即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0． 法二：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0，因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝．所以直线l的方程为x＋y＋2×－3＝0．化简得15x＋5y＋16＝0． 答案：　(1)(－2，1) 1．求过两直线交点的直线方程的方法 (1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程． (2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 如：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 2．含有参数的直线恒过定点问题的解法 (1)直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． (2)特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． (3)方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点． 即时练3．不论m为何实数，直线l：mx－y－2m－1＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1)　　　 B．(2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) B　[根据题意，将直线方程变形为m(x－2)－y－1＝0． 因为m为任意实数，所以联立解得 所以直线l过定点(2，－1)．故选B．] 即时练4．求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程． 解析：　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，解得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0． 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2)　　　　　　 B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) B　[解方程组得] 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) C　[根据题意，将直线方程变形为(x＋2y＋1)m－x－3y＝0． 因为m为任意实数，所以联立解得 所以直线l过定点(－3，1)．故选C．] 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 解析：　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5． ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0． 答案：　2x＋y－4＝0 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________． 解析：　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－． 答案：　－ 课时精练(十九)　两条直线的交点坐标 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(－4，－3)　　　　　 B．(4，3) C．(－4，3) D．(3，4) C　[由方程组得] 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12 B．10 C．－8 D．－6 B　[∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10．] 3．过两直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点和原点的直线方程为(　　) A．3x＋2y＝0 B．3x－2y＝0 C．2x＋3y＝0 D．2x－3y＝0 A　[由题意得： 解得 即直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点坐标是(－2，3)． 又因为该直线过原点，则该直线方程为：＝， 即3x＋2y＝0． 故选A．] 4．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．24 C　[因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6．] 5．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A． B． C． D． D　[由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以解得故直线过定点．] 6．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} C　[由题可知k≠－1， 联立解得x＝，y＝， ∴两直线的交点坐标为． ∵两直线的交点在第一象限，∴ 解得k>． 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ >，∴30°<θ<90°．] 7．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为____________________． 解析：　由 得 则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)， 即3x＋y＝0． 答案：　3x＋y＝0 8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______． 解析：　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5． 又点(1，m)在直线上， 所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2． 答案：　－2 9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程． 解析：　由方程组解得 所以交点坐标为． 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋＝×， 即27x＋54y＋37＝0． 10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围． 解析：　联立两直线的方程解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴解得即－<k<－． 则k的取值范围为． [能力提升] 11．已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是__________________________________． 解析：　由直线ax＋y＋a＋2＝0， 得a(x＋1)＋(y＋2)＝0， 令解得x＝－1，y＝－2， ∴直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)， ∴过这一定点和原点的直线方程是＝，即y＝2x． 答案：　y＝2x 12．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________________． 解析：　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0． 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝． 由＝，得λ＝或λ＝． 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0． 答案：　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 13．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________． 解析：　解方程组得 代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2． 答案：　2 14．已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________． 解析：　如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率， 即a≥＝1，即a≥1． 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3． 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：　(－∞，－3]∪[1，＋∞) [拓展应用] 15．已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 C　[设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)， 则即 解得即B′(1，0)． 又B′在直线AC上， 则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0．] 16．如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解析：　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得即B(6，4)． 同理可求得C点的坐标为(5，0)． 故所求直线BC的方程为＝， 即4x－y－20＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $$