2.1 直线的斜率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．1　直线的斜率 [学习目标]　1．了解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 [问题导引1]　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． [问题导引2]　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 1．直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． 2．直线倾斜角的范围 (1)直线倾斜角的取值范围是0≤α<π； (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0． (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　　　 B．α－135° C．135°－α D．α－45° 解析：　(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确， D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°． 答案：　(1)AC　(2)AB 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围．　　 即时练1．(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：　(1)有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°． ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°． (2)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°． 答案：　(1)60°或120°　(2)135° 知识点二　直线的斜率 [问题导引]　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α． (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示：　(1)tan α＝＝． (2)tan α＝＝1－． (3)tan α＝． 1．斜率的定义 (1)一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan_α． (2)倾斜角是的直线没有斜率． 倾斜角α≠的直线都有斜率． 2．斜率公式 如果直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式k＝tan_α＝． (1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率． 解析：　(1)由题意知两点的横坐标不相等，故直线的斜率存在． 根据直线的斜率公式，得直线的斜率k＝＝4． (2)因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为45°． 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°，故所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1． (1)求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况． (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 即时练2．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 解析：　k＝＝－<0，直线PQ的倾斜角为钝角． 答案：　－　钝 即时练3．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 解析：　依题意知直线AC的斜率存在， 则m≠－1． 由kAC＝3kBC， 得＝3·，∴m＝4． 答案：　4 直线的倾斜角及斜率的应用 (1)若A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，则实数m的值为________． (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率的范围和倾斜角的范围． 解析：　(1)因为A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，且kAB＝， kAC＝＝－1， 所以直线AB，AC的斜率存在，所以kAB＝kAC，即＝－1，解得m＝3． (2)如图所示． 因为kAP＝＝1， kBP＝＝－． 所以k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 所以45°≤α≤120°． 答案：　(1)3 1．用斜率公式解决三点共线的方法 2．求代数式最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解．　　 即时练4．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解析：　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝．直线AC的斜率kAC＝＝．故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为． (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是． 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 B．一条直线的倾斜角为－30° C．倾斜角为0°的直线只有一条 D．直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系 ABCD　[若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，A错； 直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，B错； 所有垂直于y轴的直线的倾斜角均为0°，C错； 不同的直线可以有相同的倾斜角，D错．] 2．过点A(－， )与点B(－， )的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° A　[因为斜率k＝＝1，所以倾斜角为45°．] 3．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AB所在直线的斜率与AC所在直线的斜率 之和为______________． 解析：　如图，易知kAB＝，kAC＝－，或kA′B＝－，kA′C＝，所以kAB＋kAC＝0． 答案：　0 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 解析：　因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k． 所以＝＝1， 解得x2＝7，y1＝0． 课时精练(十四)　直线的斜率 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．－45° B　[作出直线l，如图所示，由图易知，应选B．] 2．(多选)下列叙述正确的是(　　) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180° C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° BCD　[根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误．易知其他选项正确，故选BCD．] 3．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　) A．0　　　 B． C．　　 　 D．－ C　[由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为．] 4．(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　) A．(0，－4) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，－8) CD　[设B(x，0)或(0，y)， ∵kAB＝或kAB＝， ∴＝4或＝4， ∴x＝2，y＝－8， ∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．] 5．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[0，2] D　[由题意，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2．故选D．] 6．已知过点A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________． 解析：　当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在． 当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0． 答案：　0 7．经过点P作直线l，直线l与连接A，B两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________． 解析：　kPA＝＝－3，kPB＝＝，由直线l与线段AB有公共点， 结合图象可得－3≤k≤． 答案：　 8．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°．若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________． 解析：　如图所示． ∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝． 答案：　30°　 9．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率． 解析：　在菱形ABCD中，∵∠ADC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°． ∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∠DBx＝120°， ∴直线AC的斜率kAC＝tan 30°＝，直线BD的斜率kBD＝tan 120°＝－． 10．已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值． 解析：　由斜率公式得kAB＝＝－1． ∵C在l上，∴kAC＝－1，即＝－1． ∴a＋b－1＝0．当a＝时，b＝1－a＝． [能力提升] 11．如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B．l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________． 解析：　因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°． 答案：　30° 12．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________________________________________________________________________． 解析：　∵α∈∪， 当≤α<时，≤tan α<1，∴≤k<1． 当≤α<π时，－≤tan α<0，∴－≤k<0． ∴k∈[－，0)∪． 答案：　[－，0)∪ 13．若三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________． 解析：　kAB＝＝，kAC＝＝＝0． 要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线， 即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1． 答案：　(－∞，1)∪(1，＋∞) 14．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围． 解析：　(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝． ∵倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内， tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°． ∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°． ∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°． (2)如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为． [拓展应用] 15．点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈[－3，5]时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 解析：　因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，则点A(－3，2)，B(5，18)为函数图象的两个端点． (1)由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动． 记点N(－1，－1)，所以可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率． 又因为kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围为∪． (2)＝2·，记点P，则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率．又kPA＝－，kPB＝－，所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$