1.4 数学归纳法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

*1．4　数学归纳法 [学习目标]　1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 知识点　数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题时，可采用下面两个步骤进行： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的所有正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2． 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)，(2)可知， 对于一切n∈N＋等式成立． 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．　　 即时练1．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明：　(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝．左边＝右边， 所以等式成立． (2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝． 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N＋等式都成立． 应用一、用数学归纳法证明不等式问题 　已知n∈N＋，n≥2． 求证：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 证明：　(1)当n＝2时，＋＋＋>，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立， 即＋＋…＋>． 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＋－>＋＋＋－>＋3×－＝． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立． 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．　　 即时练2．数列{an}满足an＋1＝，a1＝1． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并用数学归纳法证明＋＋…＋>． 解析：　(1)证明：∵an＋1＝， ∴＝，化简得＝2＋，即－＝2， 故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)，知Sn＝n2， 当n＝1时，＝1，＝，不等式显然成立． 假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋， 又＋－＝1－＋－1＋＝－＝>0， ∴＋＋…＋＋>， 综上，原不等式成立． 应用二、归纳—猜想—证明 　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解析：　S1＝＝； S2＝＋＝； S3＝＋＝； S4＝＋＝． 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1． 于是可以猜想Sn＝． 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝， 右边＝＝＝， 猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立．即 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋ ＋ ＝＋＝ ＝ ＝， 所以当n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)可知，猜想对任意n∈N＋都成立． 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．　　 即时练3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)． (1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式． 解析：　(1)∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝．猜想Sn＝． (2)下面用数学归纳法证明猜想成立． ①当n＝1时，猜想显然成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，猜想成立．即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)， ∴(k2＋2k)Sk＋1＝(k＋1)2Sk＝(k＋1)2·， ∴Sk＋1＝． 故当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①和②可知，对于任意的n∈N＋，都有Sn＝． 故猜想成立． ∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝． 1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A． B．＋ C．＋ D．＋＋ D　[要注意末项与首项，因为f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋．] 2．某个命题与正整数n有关．如果当n＝k＋1(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k时命题也成立．现已知当n＝2 019时该命题不成立．那么可推得(　　) A．当n＝2 020时该命题不成立 B．当n＝2 020时该命题成立 C．当n＝2 018时该命题不成立 D．当n＝2 018时该命题成立 A　[由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝2 019不成立，P(n)对n＝2 020也不成立．否则，n＝2 020成立．由已知推得n＝2 019也成立．与当n＝2 019时该命题不成立矛盾．] 3．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N＋)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为______________________． 解析：　∵用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N＋)时， 当n＝1时，左边所得的项是1， 假设n＝k时，命题成立，左端为1＋2＋3＋…＋k3，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋…＋(k＋1)3， ∴由n＝k到n＝k＋1时需增添的项是(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3． 答案：　(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 4．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明． 解析：　∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)， ∴a3＝＝＝，a4＝＝＝． 猜想：an＝(n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明猜想成立． (1)当n＝1时，易知猜想成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想成立． 即ak＝． 当n＝k＋1时， ak＋1＝＝＝ ＝＝＝＝， ∴n＝k＋1时猜想也成立． 由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都成立． 课时精练(十三)　数学归纳法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步应验证(　　) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 C　[根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立．∵n≥3，n∈N＋，∴第一步应验证n＝3．故选C．] 2．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 C　[f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8．] 3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立．那么a，b，c的值为(　　) A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c A　[令n＝1，2，3， 得 即 解得a＝，b＝，c＝．] 4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A． B． C． D． B　[∵a1＝2，∴a2＝＝，a3＝，a4＝， ∴猜出an＝．故选B．] 5．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 C　[由数学归纳法可知，当n＝n0时命题成立，且命题在n＝k，n＝k＋1时成立，则当n≥n0时命题成立，小于n0时不确定．] 6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：　∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立． 答案：　2k＋1 7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________． 解析：　观察不等式中各项的分母变化，知n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－． 答案：　＋＋…＋＋＋>－ 8．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋______________． 解析：　f(1)＝1＋＝； 假设当n＝k时，f(k)＝1＋＋＋…＋， 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， f(k＋1)＝f(k)＋＋＋． 答案：　　＋＋ 9．用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝n·(n＋1)·(n＋2)，n∈N＋． 证明：　①当n＝1时，等式左边＝1，右边＝×1×2×3＝1，所以等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立， 即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1＝k·(k＋1)·(k＋2)， 则当n＝k＋1时， 1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋k·2＋(k＋1)·1 ＝(1·k＋1)＋[2·(k－1)＋2]＋[3·(k－2)＋3]＋…＋(k·1＋k)＋(k＋1)·1 ＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)] ＝k·(k＋1)·(k＋2)＋ ＝(k＋1)·(k＋2)· ＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)． 所以当n＝k＋1时，等式也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，等式成立． 10．用数学归纳法证明对一切n∈N＋，1＋＋＋…＋≥． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时， 要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥． 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N＋都成立． [能力提升] 11．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 D　[根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f(k)≥k＋1(k≥5)成立，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立．故选D．] 12．(多选)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．则下列结论正确的是(　　) A．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 BC　[由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立．] 13．已知Sn＝＋＋＋…＋，n∈N＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________． 解析：　当n＝1时，S1＝； 当n＝2时，S2＝； 当n＝3时，S3＝； 当n＝4时，S4＝． 观察猜想得Sn＝． 答案：　　　　　 14．设a1＝1，an＋1＝＋b，n∈N＋． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式； (2)若b＝－1，问：是否存在实数c，使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N＋均成立？证明你的结论． 解析：　(1)方法一：当b＝1时，an＋1＝＋1，故a2＝2，a3＝＋1． 由已知可得(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1． 从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1． 方法二：a2＝2，a3＝＋1， 可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1，…，因此猜想an＝＋1． 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当n＝1时，结论显然成立． 假设当n＝k(k∈N＋)时结论成立，即ak＝＋1， 则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝＋1． 这就是说，当n＝k＋1时结论成立． 综上可知，an＝＋1． (2)当b＝－1时，an＋1＝－1，设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)， 当－1＝x时得x＝． 计算得a2＝0，a3＝－1，发现0≤a2<<a3<1． 猜测存在c＝ ，使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N＋成立． 下面用数学归纳法证明0≤a2n<<a2n＋1<1． 当n＝1时已经验证结论成立． 假设当n＝k时，0≤a2k<<a2k＋1<1(k≥1，k∈N)成立，则由f(x)＝－1在[0，1)上单调递减可知f(0)≥f(a2k)>f>f(a2k＋1)>f(1)， 所以1>－1≥a2k＋1>>a2k＋2>0． 再由f(x)＝－1在[0，1)上单调递减可知，f(1)<f()<f(a2k＋2)<f(0)， 所以0<<a2k＋3<－1<1，所以0<a2k＋2<<a2k＋3<1，所以当n＝k＋1时结论成立． 由数学归纳法可知0≤a2n<<a2n＋1<1对任意n∈N＋成立． 所以符合条件的c存在，其中的一个值为． [拓展应用] 15．现有命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是(　　) A．不能用数学归纳法判断此命题真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件n≤9后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个很大的常数m，当n>m时，此命题为假命题 B　[①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，即n＝1时，等式成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1k ＝＋(－1)k＋1， 则当n＝k＋1时， 1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1k＋(－1)k＋2(k＋1) ＝＋(－1)k＋1·＋(－1)k＋2(k＋1) ＝＋(－1)k＋2· ＝＋(－1)k＋2， 即当n＝k＋1时，等式成立． 综上，对任意n∈N＋，等式1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1恒成立，故选B．] 16．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋． (1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 解析：　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝， 所以f(2)<g(2)； 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)<g(3)． (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝1，2，3时，不等式显然成立， ②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋<－． 那么，当n＝k＋1时， f(k＋1)＝f(k)＋<－＋． 因为f(k＋1)－g(k＋1)<－＋－＝－ ＝－＝<0， 所以f(k＋1)<g(k＋1)． 由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$