1.1 第2课时 数列的递推公式与单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

第2课时　数列的递推公式与单调性 知识点一　数列的递推公式 [问题导引]　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，…… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数字表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：　(1)36　(2)an＋1－an＝n＋1 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 角度一　由递推公式求数列的某指定项 已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n>1)，写出数列{an}的前5项． 解析：　由题意，得a2＝3a1＋，而a1＝1， 所以a2＝3×1＋＝． 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91． 由递推公式求数列的某指定项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．　　 即时练1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是______． 解析：　因为a1＝0，所以a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255． 答案：　255 角度二　由递推公式求数列的通项公式 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求通项公式an． 解析：　(1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝． 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－． ∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－(n∈N＋)． (2)∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式； (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．　　 即时练2．若a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解析：　∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1． ∴＝＋(－)＋(－)＋…＋(－) ∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． 即时练3．若a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)，写出数列的前5项，猜想an并证明． 解析：　由a1＝2，an＋1＝3an，得： a2＝3a1＝3×2， a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2， a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n－1， 证明如下：由an＋1＝3an得＝3． 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3． 将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1． 即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1， 又a1＝2，故an＝2·3n－1． 知识点二　数列的单调性 名称 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项an＋1<an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 常数列 各项都相等的数列 已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解析：　(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋， 所以an＝－2＋．因为n∈N＋，所以an>－2． (2)数列{an}为递减数列．理由如下： 因为an＝－2＋，所以 an＋1－an＝(－2＋)－(－2＋) ＝－＝<0， 即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列． 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号． 即时练4．已知数列{an}的第n项可以表示为，n∈N＋，试判断数列的增减性． 解析：　因为{an}的第n项为，所以{an}的第n＋1项为．因为－＝－ ＝ ＝＝>0， 所以>，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项， 故数列{an}是递增数列． 数列的最值 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)，n∈N＋．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解析：　法一：an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 则a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×． 法二：根据题意，令 即 解得9≤n≤10． 又n∈N＋，则n＝9或n＝10．故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×． 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．　　 即时练5．已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　) A．3　　 B．4　　　　C．5　　　　D．6 A　[因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值．] 1．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　) A．是常数列　　 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 D　[在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是递减数列．] 2．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 021的值为(　　) A．　　 B．－1　　　　 C．2　　　　 D．1 A　[a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，a6＝－1，a7＝2，依此类推知a2 021＝ ．] 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n A　[∵在数列{an}中，an＋1－an＝ln＝ln， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln＋ln＋…＋ln＋2 ＝ln＋2＝2＋ln n．故选A．] 4．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4＝________． 解析：　因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8． 答案：　8 课时精练(二)　数列的递推公式与单调性 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是(　　) A．递增数列　　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 D　[该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D．] 2．已知数列{an}满足an＝4an－1－2(n≥2，n∈N＋)，且a1＝1，则此数列的第5项是(　　) A．6　　 B．86　　　　 C．22　　　　 D．63 B　[由递推公式，得a2＝2，a3＝6，a4＝22，a5＝86．] 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 D　[由题a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，an＝2n－1．] 4．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　) A．6n个 B．(4n＋2)个 C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个 D　[由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．故选D．] 5．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n>3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．Tn无最大值 B．an有最大值 C．T2 019＝4 D．a2 019＝2 BCD　[∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n>3)， ∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…， 因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an， ∴an有最大值2，a2 019＝a3＝2， 又∵T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…， ∴{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn， ∴Tn有最大值4，T2 019＝T3＝4．故选BCD．] 6．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 B　[由题中图形知，a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，所以an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2，故选B．] 7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a4＝________． 解析：　当n＝1时，a2＝a1＋1×2＝3， 当n＝2时，a3＝a2＋2×2＝3＋4＝7， 当n＝3时，a4＝a3＋3×2＝7＋6＝13． 答案：　13 8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝______． 解析：　a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝＝． 答案：　 9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式． 解析：　由条件＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即＝，＝，＝，…，＝． 将以上各式等号两边分别相乘，得···…·＝×××…×， 所以＝． 又因为a1＝，所以an＝． 10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6． (1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式； (2)求n为何值时an最小． 解析：　(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6， 得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6， ∴bn＋1－bn＝2n－6． 当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6， bn－1－bn－2＝2(n－2)－6， … b3－b2＝2×2－6， b2－b1＝2×1－6， 累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1) ＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6． 又b1＝a2－a1＝－14， ∴bn＝n2－7n－8． (2)由bn＝(n－8)(n＋1)， 得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)． ∴当n<8时，an＋1<an； 当n＝8时，a9＝a8； 当n>8时，an＋1>an． ∴当n＝8或n＝9时，an的值最小． [能力提升] 11．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 021的值为(　　) A．2 B．1 C． D． C　[an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝．] 12．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意的n∈N＋，均有an＋k<an，则称是间隔递减数列，k是的间隔数．已知an＝－n2＋tn＋9，若是间隔递减数列，且最小间隔数是4，则t的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[由题意可得，an＋k－an＝－＋t＋9－＝k－k2<0对任意的n∈N＋成立， 则存在k≥4，使k－k2<0成立，且存在k≤3，使k－k2≥0成立． 因为k是正整数，所以t－2－4<0，且t－2－3≥0，解得5≤t<6．故选D．] 13．(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　　) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a不是数列{an}中的项 D．当a<2时，{an}为递增数列 ABCD　[当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确； 令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确；若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋>n＋，得a<n2＋n，又n2＋n≥2，所以a<2，D正确．故选ABCD．] 14．已知数列满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列的通项公式． 解析：　因为2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n(n∈N＋)①， 所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝n－1②， ①－②得2nan＝1(n≥2)，即an＝， 当n＝1时，a1＝，满足an＝，所以an＝． [拓展应用] 15．雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形开始来画．你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线，她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推． 设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝________，an＋1与an的关系是________． 解析：　a1＝3，a2＝3×4＝12，a3＝3×42＝48，…，an＋1＝4an． 答案：　48　an＋1＝4an 16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值． 解析：　第一种情况：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1． 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2． 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 第二种情况：若a3为偶数，则＝4，a3＝8． 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16． 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32． 故m所有可能的取值为4，5，32． 学科网（北京）股份有限公司 $$