1.1 第1课时 数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．1　数列的概念 [学习目标]　1． 通过日常生活和数学中的实例．2．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．3．了解数列是一种特殊函数． 第1课时　数列的概念及通项公式 知识点一　数列的概念 [问题导引]　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 1．数列与数列的项 (1)数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项． 2．数列的一般形式 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3．数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列． (1)下列说法中正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列－1，3，6，－5的第三项为6 D．数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋的函数 (2)下列数列： ①1，2，22，23，…，263； ②1，0．5，0．52，0．53，…； ③0，10，20，30，…，1 000； ④2，4，6，8，10，…； ⑤－1，1，－1，1，－1，…； ⑥7，7，7，7，…； ⑦，，，，… 其中有穷数列是________，无穷数列是________(填序号)． 解析：　(1)由数列定义知，A，B不正确；D不正确的原因是数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值． (2)根据数列的概念知有穷数列是①③，无穷数列是②④⑤⑥⑦． 答案　(1)C　(2)①③　②④⑤⑥⑦ 1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． 2．判断数列是有穷或无穷数列，只需要看项的个数是有限还是无限即可． 即时练1．数列{1，2，3，…，n}和数列{1，2，3，…}都是正整数数列，项数分别是多少？ 解析：　第一个数列是有穷数列，共n项，第二个数列是无穷数列． 知识点二　数列的表示方法 [问题导引]　我们发现知识点一问题导引中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝，n∈N＋； 对于③，an＝2 023，n∈； 对于⑤，an＝，n∈N＋． 数列的表示方法 (1)分类：解析式法、表格法、图象法． (2)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，，－，…； (2)，2，，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－2，0，－2，0，…． 解析：　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数的一半，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋． (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N＋． 由数列的前n项求通项公式的解题策略 (1)用观察法求数列通项公式的策略 (2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 即时练2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－，，－，，…； (2)，，，，…； (3)7，77，777，7 777，…． 解析：　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)， 即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋． 数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝． (1)求a10； (2)判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由； (3)求证：0<an<1． 解析：　(1)根据题意可得a10＝＝． (2)令an＝，即＝，解得n＝3，所以为数列{an}中的项，为第3项． (3)证明：由题知an＝＝1－， 因为n∈N＋，所以3n＋1>3，所以0<<1， 所以0<1－<1，即0<an<1． 1．利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 即时练3．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋． (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项． 解析：　(1)a10＝＝． (2)令＝，化简得8n2－33n－35＝0， 解得n＝5(n＝－舍去)． 当n＝5时，a5＝－≠．所以不是该数列中的项． 1．(多选)下列数列是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， ABC 2．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C．1，1，1，1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 D　[由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．] 3．(2021·兴安高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下面哪一个数是这个数列的一项(　　) A．18　 B．21　　　C．25　　　D．30 D　[因为an＝n2＋n＝(n＋)2－，所以数列{an}是递增数列，当n＝3时，a3＝32＋3＝12，当n＝4时，a4＝42＋4＝20，当n＝5时，a5＝52＋5＝30，当n＝6时，a6＝62＋6＝42，故选D．] 4．在数列{an}中，an＝51－n，则a3等于________． 解析：　由已知得a3＝51－3＝． 答案：　 课时精练(一)　数列的概念及通项公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 ACD　[由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1，2，3，…就是数列{n}，故C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．] 2．数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A．an＝(－1)n(n∈N＋) B．an＝(－1)n(n∈N＋) C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) B　[把数列的前4项统一形式为－，，－，，数列的一个通项公式为an＝(－1)n(n∈N＋)．] 3．(多选)数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，是{an}的项的是(　　) A．1　　 B．－1　　　　C．3　　　　 D．2 ABC　[25－2n不可能是偶数，经验证，1，－1，3均是{an}中的项．] 4．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　) A． B．－ C． D．－ D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－．故选D．] 5．数列0．3，0．33，0．333，0．333 3，…的通项公式为(　　) A．an＝(10n－1)，n∈N＋ B．an＝(10n－1)，n∈N＋ C．an＝(1－)，n∈N＋ D．an＝(10n－1)，n∈N＋ C　[因为数列0．9，0．99，0．999，0．999 9，…的通项公式为1－，而数列0．3，0．33，0．333，0．333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以an＝(1－)，n∈N＋．] 6．数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 C　[由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20．] 7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，则a4＝________，a5＝________． 解析：　将a1＝2，a2＝代入通项公式，得解得 ∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝． 答案：　　 8．数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为________． 解析：　注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ 答案：　an＝ 9．写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，…． 解析：　(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N＋． (2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋． (3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n．又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式． 所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N＋． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n． (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68呢？ 解析：　(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝， 均不合题意，所以68不是该数列的项． [能力提升] 11．设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于(　　) A． B．＋ C．＋＋ D．＋＋＋ C　[∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)， ∴a2＝＋＋．] 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，an的最小值为________． 解析：　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－． 答案：　1－ 13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________． 解析：　f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1． 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61． 答案：　61 14．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110． (1)20是不是{an}中的一项？ (2)当n取何值时，an＝0． 解析：　(1)令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0， ∴n＝10或n＝－9(舍)， ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项． (2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0， ∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)， ∴当n＝11时，an＝0． [拓展应用] 15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋ C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋ C　[∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…．] 16．在数列{an}中，an＝． (1)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 解析：　(1)证明：因为an＝＝1－(n∈N＋)， 所以0<an<1， 故数列的各项都在区间(0，1)内． (2)令<<，则<n2<2，n∈N＋， 解得n＝1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1． 学科网（北京）股份有限公司 $$