4.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第4章 计数原理 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 4．1　两个计数原理 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 m1＋m2＋…＋mn 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 m1×m2×…×mn 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（三十七） 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第4章　计数原理 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．2．能运用其解决简单实际问题． 知识点一　分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第 n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝_____________________种不同的方法．我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理． 某校高三共有三个班，其各班人数如下表： 班级 男生数 女生数 总数 高三(1) 30 20 50 高三(2) 30 30 60 高三(3) 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解析：　(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种)． (2)由题设知共有三类： 第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种)． 分类加法计数原理解题的一般思路 即时练1．连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形的个数为(　　) A．40　　 B．30　　　 C．20　　　　 D．10 A　[由题意知满足条件的三角形分为两类： 第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个； 第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32(个)． 由分类加法计数原理，知满足条件的三角形有8＋32＝40(个)．] 即时练2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q．把满足上述条件的一个有序数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数为(　　) A．9 B．14 C．15 D．21 B　[∵集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，∴x＝y≠1，2或x＝2，y≠1，2．分两类：①当x＝y≠1，2时，x可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况；②当x＝2，y≠1，2时，y可取3，4，5，6，7，8，9，则有序数对(x，y)共有7种情况．由分类加法计数原理，知这样的点的个数为7＋7＝14．] 知识点二　分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝_____________________种不同的方法．我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理． 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(不一定6名同学都参加)? (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项只允许报一人，且每人至多参加一项； (3)每项只允许报一人，但每人参加的项目不限． 解析：　(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法． 根据分步乘法计数原理， 可得不同的报名方法种数为36＝729． (2)每项只允许报一人，且每人至多参加一项， 因此可由项目选人，第一个项目有6种选法， 第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法． 根据分步乘法计数原理， 可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120． (3)每人参加的项目不限， 因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛． 根据分步乘法计数原理， 可得不同的报名方法种数为63＝216． 分步乘法计数原理解题的一般思路 即时练3．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999，则 (1)4位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个． 解析：　(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位相同，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个． (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．由分步乘法计数原理，知2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个． 答案：　(1)90　(2)9×10n 两个原理的综合应用 有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 解析：　(1)选1人，可分三类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法． 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法． (2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法． 共有3×8×5＝120(种)不同的选法． 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．　　 即时练4．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 解析：　(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法． (2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名组长，共10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名组长，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法． (3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法． 1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有(　　) A．32种　 　 B．9种 C．12种　 　 D．20种 C　[由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12(种)．] 2． 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数的个数为(　　) A．144　　　 　 B．120　　　 　 C．96　　　 　 D．72 B　[这里大于40 000的数可以分两类： ①当5在万位上时，个位上的数字可以是0，2，4三个数中的一个，有3种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法．根据分步乘法计数原理，共有3×4×3×2＝72种选法，即有72个符合要求的数． ②当4在万位上时，个位上的数字可以是0，2两个数中的一个，有2种选法；十位、百位、千位上的数字没有限制，故分别有4种、3种、2种选法．根据分步乘法计数原理，共有2×4×3×2＝48种选法，即有48个符合要求的数． 综上，总共有72＋48＝120个．故选B．] 3．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________． 解析：　用0，1，2，…，9十个数字组成三位数时，0不能在百位上，故百位上的数字有9种选法；十位、个位上的数字可以任意选，都有10种选法．由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的所有三位数的个数为9×10×10＝900．同理，用0，1，2，…，9组成无重复数字的三位数时，百位上的数字有9种选法，十位上的数字有9种选法，个位上的数字有8种选法．由分步乘法计数原理得，由0，1，2，…，9组成的无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648．故有重复数字的三位数的个数为900－648＝252． 答案：　252 4．书架上放有6本语文书、5本数学书和3本英语书． (1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取语文书、数学书、英语书各1本，有多少种不同的取法？ 解析：　(1)任取1本，可分三类： 第1类：从语文书中取1本，有6种不同的选法； 第2类：从数学书中取1本，有5种不同的选法； 第3类：从英语书中取1本，有3种不同的选法． 共有6＋5＋3＝14(种)不同的选法． (2)任取语文书、数学书、英语书各1本，分三步进行： 第1步：取语文书，有6种不同的选法； 第2步：取数学书，有5种不同的选法； 第3步：取英语书，有3种不同的选法； 共有6×5×3＝90(种)不同的选法． $$