3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第3章 圆锥曲线与方程 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 3．1　椭圆 3．1．2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 －a≤x≤a且－a≤y≤a －b≤x≤b且－a≤y≤a 2a 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c x轴和y轴 (0，0) 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（二十七） 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第3章　圆锥曲线与方程 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．2．会用椭圆的几何意义解决相关问题． 知识点　椭圆的几何性质 [问题导引]　观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示：　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 _________________________ _____________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2 )＝1(a>b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 ________________________ _____________________ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝______，短轴长＝2b 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 _________________________ _____________________ 焦距 |F1F2|＝______ 对称性 对称轴_____________，对称中心_________ 离心率 e＝_______________ eq \f(c,a)(0<e<1) [提醒]　(1)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置． (2)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点． (3)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解析：　(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可得a＝10，b＝8，c＝6，焦点在x轴上，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝eq \f(3,5)． (2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1，其中a＝10，b＝8，c＝6，焦点在y轴上， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝eq \f(3,5)． 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． [注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c而应是a，b，c的两倍．　　 即时练1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69)) D　[由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))．] 即时练2．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 C　[椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为eq \f(4,5)． 椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)， 焦距为2eq \r(（25－k）－（9－k）)＝8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)) ． 因此两个椭圆的焦距相等，故选C．] 应用一、利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长2eq \r(5)，离心率e＝eq \f(2,3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． 解析：　(1)由2b＝2eq \r(5)，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，得b2＝5，eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(4,9)，a2＝9． 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1． 综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1． (2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b． 所以c＝b＝3．所以a2＝b2＋c2＝18． 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1． 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．　　 即时练3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是(　　) A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1　　　　 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D　[因为椭圆C的右焦点为F(1，0)，所以椭圆的焦点在x轴上，c＝1，又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．] 即时练4．已知椭圆G的中心为坐标原点O，F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点，点O到直线BF的距离为eq \r(3)，若过点F且垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是(　　) A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1 C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 C　[设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得eq \f(bc,a)＝eq \r(3)，eq \f(2b2,a)＝2，结合a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2．故选C．] 应用二、椭圆的离心率 (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(1,2)　 B．eq \f(\r(3),2)　　　 C．eq \f(\r(3),4)　　　 D．eq \f(\r(6),4) (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 解析：　(1)如图，△BF1F2是正三角形， ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a， ∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A． (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b． 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2)， 又因为0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))． 答案：　(1)A　(2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 即时练5．设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈(eq \f(1,2)，1)，则实数k的取值范围是__________________． 解析：　当k>4时，c2＝k－4，由条件知eq \f(1,4)<eq \f(k－4,k)<1，解得k>eq \f(16,3)；当0<k<4时，c2＝4－k，由条件知eq \f(1,4)<eq \f(4－k,4)<1，解得0<k<3．综上，实数k的取值范围为(0，3)∪(eq \f(16,3)，＋∞)． 答案：　(0，3)∪(eq \f(16,3)，＋∞) 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，eq \f(4,5)　　　　　 B．10，6，eq \f(4,5) C．5，3，eq \f(3,5) D．10，6，eq \f(3,5) B　[椭圆可变形为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1，∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)．] 2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A．eq \f(1,3)　　 B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2)　　　　 D．eq \f(2\r(2),3) C　[∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2eq \r(2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)．] 3．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋y2＝1 C．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D．x2＋eq \f(y2,4)＝1 A　[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，故所求椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．] 4．在①离心率e＝eq \f(1,2)，②椭圆C过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，③△PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解答下列问题． 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2eq \r(3)，________，求椭圆C的方程． 解析：　选①，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． 选②，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． 选③，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,2b＝2\r(3)，,\f(1,2)×2c×b＝\r(3)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，)) 所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． $$