2.4 点到直线的距离-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．4　点到直线的距离 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（二十） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．掌握两点间的距离公式并会应用．2．经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养．3．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．4．理解两条平行线间的距离公式的推导．5．会求两条平行直线间的距离． 知识点一　两点之间的距离公式 [问题导引1]　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：　|AB|＝|xA－xB|． [问题导引2]　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示：　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)． 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)． (1)已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离公式|AB|＝____________________________． (2)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ eq \r(x2＋y2)． eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2）) 已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解析：　法一：∵|AB|＝eq \r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)， |AC|＝ eq \r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)， 又|BC|＝ eq \r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝eq \f(7－1,1－（－3）)＝eq \f(3,2)， kAB＝eq \f(－3－1,3－（－3）)＝－eq \f(2,3)， ∴kAC·kAB＝－1， ∴AC⊥AB． 又|AC|＝ eq \r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)， |AB|＝ eq \r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)， ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)． (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 即时练1．若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为____________． 解析：　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10． 设点M的坐标为(xM，±10)． 由两点间距离公式，得|MN|＝eq \r(（xM＋4）2＋（10－2）2)＝10或|MN|＝eq \r(（xM＋4）2＋（－10－2）2)＝10， 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10)． 答案：　(2，10)或(－10，10) 知识点二　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)的距离公式：d＝______________． eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) (1)点P(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________． (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________． 解析：　(1)由点到直线的距离公式得 eq \f(|－1×2＋2×1－10|,\r(22＋12))＝2eq \r(5)． (2)依题意得eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))， ∴|3m＋5|＝|m－7|， ∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m， ∴m＝－6或m＝eq \f(1,2)． 答案：　(1)2eq \r(5)　(2)－6或eq \f(1,2) 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可．　　 即时练2．(多选)若点P(3，a)到直线x＋eq \r(3)y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A．eq \r(3)　 B．－eq \r(3)　　　 C．eq \f(\r(3),3)　　　 D．－eq \f(\r(3),3) AD　[由题意得eq \f(|3＋\r(3)a－4|,\r(1＋3))＝eq \f(|\r(3)a－1|,2)＝1， 解得a＝eq \r(3)或a＝－eq \f(\r(3),3)．] 知识点三　两条平行直线间的距离 [问题导引1]　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． [问题导引2]　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))． 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))． (1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1　　 B．eq \r(2)　　　 C．eq \r(3)　　　　 D．2 (2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 解析：　(1)由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB|＝eq \f(|－1＋3|,\r(12＋12))＝eq \r(2)． (2)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋eq \f(5,2)＝0， 所以d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq \f(\f(3,2),\r(34))＝eq \f(3\r(34),68)． 答案：　(1)B 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．　　 即时练3．(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．4 (2)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是____________． 解析：　(1)由两条直线平行可得eq \f(5,10)＝eq \f(12,m)，解得m＝24． 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1． (2)法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0， 于是有eq \f(|c－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|c－（－1）|,\r(22＋（－1）2))， 即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0． 法二：由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋c＝0， 则c＝eq \f(3＋（－1）,2)＝1． 则直线l的方程为2x－y＋1＝0． 答案：　(1)A　(2)2x－y＋1＝0 对称问题 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程． 解析：　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l． 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋1,x0＋2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(x0－2,2)＋2×\f(y0－1,2)－2＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(2,5)，,y0＝\f(19,5).)) 即P′点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(19,5)))． (2)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f(y＋y1,2)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2－x，,y1＝2－y.)) 将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0， 即直线l′的方程为x＋2y－4＝0． 有关对称问题的2种主要类型 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于点(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0，)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 即时练4．求点P(－3，4)关于直线4x－y－1＝0的对称点的坐标． 解析：　设对称点坐标为(a，b)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a＋3)·4＝－1，,4×\f(－3＋a,2)－\f(4＋b,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝2，)) 即所求对称点的坐标是(5，2)． 1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A．3　　 B．7　　　　 C．eq \f(1,10)　　　　 D．eq \f(1,2) C　[3x＋4y－2＝0可变形为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝eq \f(|－4－（－5）|,\r(62＋82))＝eq \f(1,10)．] 2．若点(4，0)到直线y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(m,3)的距离为3，则m的值为(　　) A．－1 B．31 C．－1或－31 D．－1或31 C　[将直线方程y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(m,3)化成一般式为4x－3y＋m＝0， 由题意可知3＝eq \f(|16＋m|,\r(42＋（－3）2))，解得m＝－1或m＝－31．] 3．已知点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y－11＝0对称，则实数a，b的值分别为(　　) A．－1，2 B．4，－2 C．2，4 D．4，2 D　[因为点A，B关于直线4x＋3y－11＝0对称，所以kAB＝eq \f(3,4)，即eq \f(b＋2－（－b）,a＋2－（b－a）)＝eq \f(3,4)　①，又AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在直线4x＋3y－11＝0上，所以2(b＋2)＋3＝11　②，由①②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))故选D．] 4．已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7eq \r(2)，则x＝________． 解析：　由|MN|＝7eq \r(2)， 得|MN|＝ eq \r(（x－2）2＋（－4－3）2)＝7eq \r(2)， 即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5． 故所求x的值为9或－5． 答案：　9或－5 5．与直线2x＋y＋1＝0平行且距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程为________________． 解析：　设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得eq \f(|C－1|,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)．所以|C－1|＝1．所以C＝0或C＝2．故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0． 答案：　2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 $$