2.3.2 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．3　两条直线的位置关系 2．3．2　两条直线的交点坐标 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 交点 公共 唯一 点 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 无解 无数个 相交 平行 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十九） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一　求相交直线的交点坐标 [问题导引]　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0． 即交点坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,x－y－3＝0))的解． 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，______的坐标一定是这两个方程的______解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有______解，那么以这个解为坐标的___必是直线l1和直线l2的交点． 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解析：　法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，)) 即l1与l2的交点坐标为(－2，2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k＝eq \f(2,－2)＝－1． 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0． 法二：∵l2不过原点， ∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0． 将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0． 求与已知两直线的交点有关问题的解法 (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解． (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．　　 即时练1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解析：　法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l⊥l3，l3的斜率为eq \f(3,4)， ∴kl＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0． 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0． ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0． 知识点二　判断两直线位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0)： 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 ______ 直线l1与l2的公共点的个数 一个 _________ 零个 直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______ [提醒] (1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． 解析：　(1)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，①,4x－12y＋8＝0，②)) ①×2得4x－12y＋8＝0． ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,y＝－2x＋3))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．　　 即时练2．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__________． 解析：　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，)) 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2)，,a<2.))所以－eq \f(3,2)<a<2． 答案：　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)) 直线系过定点问题 (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是________． (2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程． 解析：　(1)直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0． 由题意，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,y－1＝0，)) 所以x＝－2，y＝1， 所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1)． (2)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).)) 因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行． 所以直线l的斜率k＝－3． 所以根据点斜式有y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5))) ＝－3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))))． 即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0． 法二：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0，因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝eq \f(11,2)．所以直线l的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(11,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－3))y＋2×eq \f(11,2)－3＝0．化简得15x＋5y＋16＝0． 答案：　(1)(－2，1) 1．求过两直线交点的直线方程的方法 (1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程． (2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 如：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 2．含有参数的直线恒过定点问题的解法 (1)直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． (2)特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． (3)方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点． 即时练3．不论m为何实数，直线l：mx－y－2m－1＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1)　　　 B．(2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) B　[根据题意，将直线方程变形为m(x－2)－y－1＝0． 因为m为任意实数，所以联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,－y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，)) 所以直线l过定点(2，－1)．故选B．] 即时练4．求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程． 解析：　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，解得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0． 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2)　　　　　　 B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) B　[解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))] 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) C　[根据题意，将直线方程变形为(x＋2y＋1)m－x－3y＝0． 因为m为任意实数，所以联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，)) 所以直线l过定点(－3，1)．故选C．] 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 解析：　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝eq \f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5． ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0． 答案：　2x＋y－4＝0 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________． 解析：　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)) 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－eq \f(1,2)． 答案：　－eq \f(1,2) $$