2.2.3 直线的一般式方程，2.2.4 直线的方向向量与法向量-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．2　直线的方程 2．2．3　直线的一般式方程 2．2．4　直线的方向向量与法向量 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 一条直线 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 平行 非零实数倍 (A，B) 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十七） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．掌握直线的一般式方程．2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．4．掌握直线的方向向量及法向量，并能解决相关问题． 知识点一　直线的一般式方程 [问题导引]　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示：　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程．2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 1．直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程都表示____________． 我们把方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式． 2．二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程都是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示． 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴． 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．　　 (2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0　　　 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0 解析：　(2)直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， ∵所求直线过点A且斜率为－eq \f(1,2)， ∴所求直线的方程为y＋2＝－eq \f(1,2)x，即x＋2y＋4＝0． 答案：　(1)①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0　(2)D 知识点二　直线的方向向量和法向量 (1)我们把与直线l______的非零向量v都称为l的方向向量，斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的_______________； (2)与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的非零向量n＝________称为直线l的一个法向量． (1)关于直线l：x－eq \r(3)y＋2＝0，下列说法中正确的是(　　) A．直线l的倾斜角为60° B．向量v＝(eq \r(3)，1)是直线l的一个方向向量 C．直线l经过点(1，－eq \r(3)) D．向量n＝(1，eq \r(3))是直线l的一个法向量 (2)过点(－1，2)且以直线2x－3y－7＝0的法向量为方向向量的直线的一般式方程是____________． 解析：　(1)因为直线l：x－eq \r(3)y＋2＝0，所以斜率k＝eq \f(\r(3),3)，∴倾斜角为α＝eq \f(π,6)，一个方向向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，因此v＝(eq \r(3)，1)是直线l的一个方向向量． (2)直线2x－3y－7＝0的斜率为eq \f(2,3)，则所求直线的斜率为－eq \f(3,2)，所以所求的直线方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0． 答案：　(1)B　(2)3x＋2y－1＝0 (1)直线Ax＋By＋C＝0，斜率k＝－eq \f(A,B)(B≠0)，一个方向向量为(B，－A)； (2)已知直线上一点P(x0，y0)以及直线的法向量n＝(A，B)，则直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)． 即时练2．(1)过点(0，1)且以直线x＋2y－3＝0的法向量为方向向量的直线的一般式方程为______________________________________； (2)若直线2x－3y＋5＝0的法向量是直线(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量，则实数a＝________． 解析：　(1)直线x＋2y－3＝0的法向量(1，2)为所求直线的方向向量，则所求直线的斜率为2，故可得所求的直线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0． (2)由题意，直线2x－3y＋5＝0的法向量为n＝(2，－3)，直线(a－2)x＋3ay＋4＝0的方向向量为v＝(3a，2－a)，可得n∥v，所以2(2－a)－(－3)×3a＝0，解得a＝－eq \f(4,7)． 答案：　(1)2x－y＋1＝0　(2)－eq \f(4,7) 直线的一般式方程的应用 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0． (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解析：　(1)令y＝0，则x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)， 所以eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3． 解得m＝－eq \f(5,3)或m＝3，又2m－6≠0，所以m≠3，所以m＝－eq \f(5,3)． (2)由直线l化为斜截式方程得 y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1， 解得m＝－2或m＝－1．又m2－2m－3≠0，所以m≠3且m≠－1，所以m＝－2． 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 即时练3．(变条件)对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，则m的值为________． 解析：　因为直线l与y轴平行， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，,－（2m2＋m－1）＝0，,6－2m≠0，))解得m＝eq \f(1,2)． 答案：　eq \f(1,2) 即时练4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限． 解析：　由题意知A·B·C≠0， 直线方程变形为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)． ∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0， ∴其斜率k＝－eq \f(A,B)<0， 又y轴上的截距b＝－eq \f(C,B)>0． ∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限． 答案：　三 1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为(　　) A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 C　[直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式为4x＋3y－12＝0．] 2．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为(　　) A．6　　 B．2 C．－2　　　　 D．－6 A　[令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，则a＝2，b＝－4，所以a－b＝6．] 3．倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．eq \r(3)x－y－1＝0 B．eq \r(3)x－y＋1＝0 C．eq \r(3)x－3y－1＝1 D．eq \r(3)x＋3y－1＝0 A　[由题意知，直线斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，在y轴上的截距为－1，∴直线的斜截式方程是y＝eq \r(3)x－1，化为一般式为eq \r(3)x－y－1＝0．] 4．若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) D　[因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2))， A．当n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))，则eq \o(AB,\s\up16(→))·n＝4＋4＝8≠0，不满足； B．当n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2))，则eq \o(AB,\s\up16(→))·n＝16＋4＝20≠0，不满足； C．当n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2))，则eq \o(AB,\s\up16(→))·n＝16－4＝12≠0，不满足； D．当n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则eq \o(AB,\s\up16(→))·n＝4－4＝0，满足． 故选D．] 5．求直线的斜率是eq \f(3,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的一般式方程． 解析：　设直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b．令x＝0，得y＝b． 令y＝0，得x＝－eq \f(4,3)b，∴eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))))＝6，解得b＝±3． ∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x±3，化为一般式为3x－4y±12＝0． $$