2.2.2 直线的两点式方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．2　直线的方程 2．2．2　直线的两点式方程 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 x＝x1 y＝y1 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 a b 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十六） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．2．了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 知识点一　直线的两点式方程 [问题导引]　我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0称为直线的两点式方程，简称两点式． 直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x2≠x1且y2≠y1，两点式方程可以写成_________________． 如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即________；当y1＝y2时， eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即_________． 已知三角形的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． 解析：　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为eq \f(y－0,2－0)＝eq \f(x－（－5）,0－（－5）)，整理得2x－5y＋10＝0，此为AC边所在直线的方程． 设边AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D所连线段，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－5＋0,2)＝－\f(5,2)，,y＝\f(0＋2,2)＝1，))所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，1))． 由两点式得直线BD的方程为eq \f(y－（－3）,1－（－3）)＝eq \f(x－3,－\f(5,2)－3)，整理得8x＋11y＋9＝0，此为AC边上的中线所在直线的方程． 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　 即时练1．已知直线l的两点式方程为eq \f(y－0,－3－0)＝eq \f(x－（－5）,3－（－5）)，则l的斜率为(　　) A．－eq \f(3,8) B．eq \f(3,8) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) A　[由两点式方程eq \f(y－0,－3－0)＝eq \f(x－（－5）,3－（－5）)，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为eq \f(0－（－3）,（－5）－3)＝－eq \f(3,8)．] 即时练2．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程． 解析：　(1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0． 综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 知识点二　直线的截距式方程 [问题导引]　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况． 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为eq \f(y－0,b－0)＝eq \f(x－a,0－a)，即eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1． 我们把方程_______________叫作直线的截距式方程，简称截距式，把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标___叫直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是___． eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解析：　(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0． (2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，又因为l过点A(5，2)， 所以5－2＝a，a＝3， 所以直线l的方程为x－y－3＝0． 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0． 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．　　 即时练3．直线eq \f(4,3)x＋eq \f(4,25)y＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A．1　 B．－1　　　 C．7　　　 D．－7 C　[直线在x轴上截距为eq \f(3,4)，在y轴上截距为eq \f(25,4)，因此截距之和为7．] 即时练4．求过点A(5，2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解析：　①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0符合题意． ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1， 又l过点(5，2)，∴eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2)． ∴l的方程为x＋2y－9＝0． 综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0． 直线方程的实际应用 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示)．问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m) 解析：　以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0，60)，B(90，0)， ∴AB所在直线的方程为eq \f(x,90)＋eq \f(y,60)＝1， 即y＝60－eq \f(2,3)x． 由图可知，欲使开发的长方形地面面积最大，则长方形的一个顶点(设为P)必在线段AB上，从而可设P(x，60－eq \f(2,3)x)，其中0≤x≤90， ∴所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y)． 故S＝(300－x)(240－60＋eq \f(2,3)x) ＝－eq \f(2,3)x2＋20x＋54 000(0≤x≤90)， ∴当x＝－eq \f(20,2×（－\f(2,3)）)＝15时，S取得最大值，最大值为－eq \f(2,3)×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2)，此时y＝60－eq \f(2,3)×15＝50． 因此当点P距AE所在直线15 m，距BC所在直线50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2． 　　 利用已知条件求出符合的直线方程，再结合图形解决实际问题．　　 即时练5．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，那么需要购买行李车票，行李费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系用直线AB的方程表示． (1)求直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？ 解析：　(1)由图知，A，B两点坐标分别为A(60，6)，B(80，10)． 由直线方程的两点式或点斜式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0． (2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李． 1．过点(2，5)，(2，－6)两点的直线方程是(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＋y＝5 D．x＋y＝－6 A　[过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程是x＝2．故选A．] 2．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　) A．－eq \f(2,3)　 B．－eq \f(3,2)　　　 C．eq \f(2,5)　　　 D．2 B　[k＝eq \f(9－1,3＋1)＝2，过点(－1，1)，(3，9)的直线方程为y－1＝2(x＋1)．当y＝0时，x＝－eq \f(3,2)，故在x轴上的截距为－eq \f(3,2)．] 3．直线y＝eq \f(2,3)x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________． 解析：　令x＝0，得y＝－2； 令y＝0，得x＝3． 故直线y＝eq \f(2,3)x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是eq \f(1,2)×3×2＝3． 答案：　3 4．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程． 解析：　设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,6－a)＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,6－a)＝1，即a2－5a＋6＝0．解得a1＝2，a2＝3．当a＝2时，直线的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,4)＝1；当a＝3时，直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1．直线l都经过第一、二、四象限，符合题意，综上知，直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,4)＝1或eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1． $$