2.1 直线的斜率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．1　直线的斜率 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 正向绕交点逆时针旋转到 0 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 正切值k 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十四） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．了解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 [问题导引1]　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． [问题导引2]　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：　直线的方向不同，相对于x轴的 倾斜程度不同． 1．直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴____________________________与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． 2．直线倾斜角的范围 (1)直线倾斜角的取值范围是0≤α<π； (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝___． (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　　　 B．α－135° C．135°－α D．α－45° 解析：　(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确， D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－ 135°． 答案：　(1)AC　(2)AB 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围．　　 即时练1．(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：　(1)有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°． ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°． (2)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°． 答案：　(1)60°或120°　(2)135° 知识点二　直线的斜率 [问题导引]　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α． (1)已知直线l经过O(0，0)，P(eq \r(3)，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(eq \r(2)，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示：　(1)tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)． (2)tan α＝eq \f(1,－1－\r(2))＝1－eq \r(2)． (3)tan α＝eq \f(y2－y1,x2－x1)． 1．斜率的定义 (1)一条直线的倾斜角α(α≠eq \f(π,2))的____________称为这条直线的斜率，即k＝______． (2)倾斜角是eq \f(π,2)的直线没有斜率． 倾斜角α≠eq \f(π,2)的直线都有斜率． tan α 2．斜率公式 如果直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式k＝___________________． tan α＝eq \f(y2－y1,x2－x1) (1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率． 解析：　(1)由题意知两点的横坐标不相等，故直线的斜率存在． 根据直线的斜率公式，得直线的斜率k＝eq \f(7－3,2－1)＝4． (2)因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为45°． 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°，故所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1． (1)求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况． (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) －eq \r(3) －1 －eq \f(\r(3),3) 即时练2．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 解析：　k＝eq \f(3－2,－3－3)＝－eq \f(1,6)<0，直线PQ的倾斜角为钝角． 答案：　－eq \f(1,6)　钝 即时练3．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 解析：　依题意知直线AC的斜率存在， 则m≠－1． 由kAC＝3kBC， 得eq \f(（－m＋3）－4,m－（－1）)＝3·eq \f(（m－1）－4,2－（－1）)，∴m＝4． 答案：　4 直线的倾斜角及斜率的应用 (1)若A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，则实数m的值为________． (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率的范围和倾斜角的范围． 解析：　(1)因为A(－2，3)，B(m，－2)，C(4，－3)三点共线，且kAB＝eq \f(5,－2－m)， kAC＝eq \f(6,－6)＝－1， 所以直线AB，AC的斜率存在，所以kAB＝kAC，即eq \f(5,－2－m)＝－1，解得m＝3． (2)如图所示． 因为kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)． 所以k∈(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)． 所以45°≤α≤120°． 答案：　(1)3 1．用斜率公式解决三点共线的方法 2．求代数式eq \f(y－b,x－a)最值或范围的方法 由斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)的形式，可知代数式eq \f(y－b,x－a)的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率．故可以利用数形结合来求解．　　 即时练4．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解析：　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7)．直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3)．故直线AB的斜率为eq \f(1,7)，直线AC的斜率为eq \f(5,3)． (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3)))． 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 B．一条直线的倾斜角为－30° C．倾斜角为0°的直线只有一条 D．直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系 ABCD　[若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，A错； 直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，B错； 所有垂直于y轴的直线的倾斜角均为0°，C错； 不同的直线可以有相同的倾斜角，D错．] 2．过点A(－eq \r(3)， eq \r(2))与点B(－eq \r(2)， eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° A　[因为斜率k＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－（－\r(3)）)＝1，所以倾斜角为45°．] 3．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AB所在直线的斜率与AC所在直线的斜率之和为______________． 解析：　如图，易知kAB＝eq \r(3)，kAC＝－eq \r(3)，或kA′B＝－eq \r(3)，kA′C＝eq \r(3)，所以kAB＋kAC＝0． 答案：　0 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 解析：　因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k． 所以eq \f(5－y1,x2－2)＝eq \f(1－5,3－x2)＝1， 解得x2＝7，y1＝0． $$