第1章 数列 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 章 末 综 合 提 升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 思维导图 体系构建 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 核心素养 能力培优 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 检 测 卷（一） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 单 元 检 测 卷 思 维 导 图 核 心 素 养 素养一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果等．在本章中，主要表现在求等差、等比数列的特定项，公差(公比)，前n项和，项数的运算中． 题型一　等差(比)数列的基本运算 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 解析：　(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N＋． (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32． 设数列{bn}的公差为d，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12，)) 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N＋． 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝eq \f(n（－16＋12n－28）,2)＝6n2－22n，n∈N＋． 题型二　等差、等比数列的性质及应用 (1)在等比数列{an}中，有a3a15＝8a9，数列{bn}是等差数列，且b9＝a9，则b7＋b11等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S10,S5)＝eq \f(1,2)，则eq \f(S15,S5)＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4) 解析：　(1)∵{an}是等比数列，∴8a9＝a3a15＝aeq \o\al(2,9)，a9≠0，所以a9＝8，即b9＝a9＝8， ∵{bn}是等差数列，所以b7＋b11＝2b9＝16． 故选C． (2)∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列， ∵eq \f(S10,S5)＝eq \f(1,2)，设S5＝2k，S10＝k， 则S10－S5＝－k，∴S15－S10＝eq \f(k,2)，则S15＝eq \f(3k,2)， ∴eq \f(S15,S5)＝eq \f(\f(3k,2),2k)＝eq \f(3,4)．故选D． 答案：　(1)C　(2)D 素养二、数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在构造新数列，及数列的函数性质中． 题型三　构造数列求通项公式 (1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(an,2an＋1)，求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)两边同除以5n＋1，得eq \f(an＋1,5n＋1)＝eq \f(2,5)×eq \f(an,5n)＋eq \f(3,5)， 可得eq \f(an＋1,5n＋1)－1＝eq \f(2,5)(eq \f(an,5n)－1)． 由于eq \f(a1,5)－1＝－eq \f(3,5)≠0，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,5n)－1))是以－eq \f(3,5)为首项，eq \f(2,5)为公比的等比数列，从而eq \f(an,5n)－1＝－eq \f(3,5)×(eq \f(2,5))n－1，故数列{an}的通项公式为an＝ 5n－3×2n－1． (2)由题意，可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,an)＝eq \f(1,an)＋2， 又eq \f(1,a1)＝eq \f(5,3)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(5,3)，公差为2的等差数列，故eq \f(1,an)＝eq \f(5,3)＋2(n－1)＝eq \f(6n－1,3)， 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3,6n－1)． 题型四　数列的函数性质 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和，求Tn的最大值． 解析：　设等差数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d， 因为S7＝21，S15＝－75， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝21，,15a1＋105d＝－75，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，)) 所以Sn＝9n－(n2－n)＝10n－n2， 所以eq \f(Sn,n)＝10－n． 因为eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝－1，eq \f(S1,1)＝9，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首项为9，公差为－1的等差数列，所以Tn＝eq \f(n[9＋（10－n）],2)＝－eq \f(1,2)n2＋eq \f(19,2)n＝－eq \f(1,2)(n－eq \f(19,2))2＋eq \f(361,8)． 因为n∈N＋，所以当n＝9或10时，Tn有最大值为45． 素养三、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在求数列的通项公式，等差、等比数列判定，数列求和及数列开放题运用等方面． 题型五　等差、等比数列的判定 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝eq \f(an,2n－2)，求证：{cn}是等差数列． 证明：　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1 ＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an． eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2． 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5． 所以b1＝a2－2a1＝3． 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以eq \f(an＋1,2n－1)－eq \f(an,2n－2)＝3． 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝eq \f(a1,2－1)＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2． 题型六　数列求和 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于(　　) A．30 B．45 C．90 D．186 C　[∵数列{an}为等差数列，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝6，,a5＝a1＋4d＝15，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝3.)) ∴an＝3＋(n－1)×3＝3n，∴bn＝a2n＝6n． ∵bn＋1－bn＝6，∴{bn}是首项为6，公差为6的等差数列， 其前5项的和为S5＝5×6＋eq \f(5×（5－1）×6,2)＝30＋60＝90．] 题型七　数列开放型题目 给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数a55＝5，则此数阵中所有数之和为__________． a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99 解析：　S＝(a11＋a12＋…＋a19)＋(a21＋a22＋…＋a29)＋…＋(a91＋a92＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405．故此数阵中所有数之和为405． 答案：　405 素养四、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．在本章主要表现在数列的实际应用问题中． 题型八　数列的实际应用 疫苗是解决“新冠病毒”的关键，为了早日生产“新冠病毒”疫苗，某研究所计划建设n个实验室，从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元，现在总共有建设费用438万元．则该研究所最多可以建设的实验室个数是(　　) A．10个　 　 B．11个　 　 C．12个　 　 D．13个 C　[设第n实验室的建设费用为an万元，其中n＝1，2，3，…， 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a7－a2＝5d＝15，,a3＋a6＝2a1＋7d＝61，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝20，,d＝3，)) 则Sn＝20n＋eq \f(3n（n－1）,2)＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(37,2)n， 令Sn≤438，即3n2＋37n－876≤0且n∈N＋，解得n≤12． 所以最多可以建设12个实验室．故选C．] $$