1.3.1 等比数列及其通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 1．3　等比数列 1．3．1　等比数列及其通项公式 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 同一个常数 公比 q 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 a1qn－1 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 等比数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（八） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．通过实例理解等比数列的概念．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．4．灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 知识点一　等比数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98． ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，…； ③－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现eq \f(92,9)＝9，eq \f(93,92)＝9，eq \f(94,93)＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)，…；对于③eq \f(\f(1,4),－\f(1,2))＝－eq \f(1,2)，…；也有相同的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于_______________，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的______，公比通常用字母___表示(q≠0)． 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)eq \f(2,3)，(eq \f(2,3))2，(eq \f(2,3))3，(eq \f(2,3))4，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…． 解析：　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为eq \f(2,3)；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4． 判断一个数列是否为等比数列的方法 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．　　 即时练1．以下数列中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a3,a2)＝2； ③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈ N＋． A．1个　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 A　[①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； ②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③当a＝0时，不是等比数列； ④该数列符合等比数列的定义，是等比数列．] 知识点二　等比数列的通项公式 [问题导引]　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N＋且n≥2)． 法一：an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比为q，那么等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝___________． 在等比数列{an}中， (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)若a2＝eq \f(1,2)，a6＝8，求q； (3)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an． 解析：　(1)∵a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， ∴an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n． (2)法一：∵{an}为等比数列，设公比为q， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1q＝\f(1,2)，①,a6＝a1q5＝8，②))　将eq \f(②,①)得q4＝16，∴q＝±2． 法二：∵{an}为等比数列，设公比为q， 又a6＝a2·q4，∴q4＝eq \f(a6,a2)＝16，∴q＝±2． (3)∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5－a1＝a1q4－a1＝15，①,a4－a2＝a1q3－a1q＝6，②)) 由eq \f(①,②)得eq \f(q4－1,q3－q)＝eq \f(5,2)，解得q＝eq \f(1,2)或q＝2． 当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16， 当q＝2时，a1＝1， ∴an＝－16·(eq \f(1,2))n－1＝－25－n或an＝2n－1． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 即时练2．已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 020等于(　　) A．2 017 B．2 018 　　 C．2 019　　 D．2 020 C　[由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝ a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 020＝log332 019＝2 019．] 即时练3．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．0 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　[设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0．由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2．] 即时练4．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7．] 知识点三　等比中项 [问题导引]　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有eq \f(x,－1)＝eq \f(1,x)，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成____________，则G称为a与b的等比中项． (1)若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3－eq \r(5)，c＝3＋eq \r(5)，则b＝(　　) A．2　　 B．－2　　　　 C．±2　　　　 D．4 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：　(1)三个实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac＝(3－eq \r(5))(3＋eq \r(5))＝9－5＝4，则b＝±2． (2)因为a1＝9d，an＝a1＋(n－1)d， 所以an＝(n＋8)d， 又因为aeq \o\al(2,k)＝a1·a2k， 所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d， 解得k＝－2(舍去)或k＝4． 答案：　(1)C　(2)B 1．在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即aeq \o\al(2,n)＝an－1·an＋1； 2．a，G，b成等比数列是G2＝ab的充分不必要条件； 3．等比数列中的任一项(除首、末两项)都是数列中距该“距离”相等的两项的等比中项，即aeq \o\al(2,n)＝an－k·an＋k(n>k)． 即时练5．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则eq \f(a,b)的值为(　　) A．±eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．1 D．±1 D　[因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列， 所以a＝eq \f(1＋3,2)＝2，b＝±eq \r(1×4)＝±2， 所以eq \f(a,b)的值为±1， 故选D．] 即时练6．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________． 解析：　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)， 所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1)． 答案：　4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1) 1．下列数列为等比数列的是(　　) A．0，0，0，0，… B．22，42，62，82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D．eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，… D　[A选项中，由于等比数列中的各项都不能为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为eq \f(1,a)，公比为eq \f(1,a)的等比数列，故选D．] 2．等比数列的首项为eq \f(9,8)，末项为eq \f(1,3)，公比为eq \f(2,3)，则这个数列的项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[∵eq \f(1,3)＝eq \f(9,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)，∴eq \f(8,27)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)， ∴n－1＝3，∴n＝4．] 3．(多选)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A．6 B．－6 C．－12 D．12 AB　[∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6．] 4．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项与第2项分别为(　　) A．2和8 B．6和8 C．8和10 D．eq \f(16,3)和8 D　[设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①　a1q3＝18，②　由②÷①可得q＝eq \f(3,2)，③　把③代入①可得a1＝eq \f(16,3)，∴a2＝a1q＝8．] 5．已知数列{an}中，an＋1＝2an，且a3＝12，则a1＝________． 解析：　因为12＝a3＝2a2，所以a2＝6． 因为6＝a2＝2a1，所以a1＝3． 答案：　3 $$