1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

1．2．3　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练（七） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 应用一、等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A．2　　 B．0　　　　 C．3　　　　 D．4 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若eq \f(S219,219)－eq \f(S19,19)＝100，则d的值为(　　) A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,10) D．eq \f(1,20) (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：　(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，即2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)， 解得Sn＝2．故选A． (2)根据Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)，得eq \f(S219,219)－eq \f(S19,19)＝eq \f(a219－a19,2)＝eq \f(200d,2)＝100，则d＝1． (3)由题知S偶－S奇＝5d， ∴d＝eq \f(30－15,5)＝3． 答案：　(1)A　(2)A　(3)C 等差数列的前n项和的常用性质 (1)等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列{eq \f(Sn,n)}为等差数列； (3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)．　　 即时练1．一个等差数列共211项，则它的奇数项和与偶数项和之比为________． 解析：　设该数列为{an}，则等差数列{an}中共有106个奇数项，105个偶数项， 所以S奇＝eq \f(106（a1＋a211）,2)，S偶＝eq \f(105（a2＋a210）,2)． 又a1＋a211＝a2＋a210， 所以S奇∶S偶＝106∶105． 答案：　106∶105 即时练2．一个等差数列前20项的和为75，其中奇数项的和与偶数项的和之比为1∶2，则公差d的值为________． 解析：　依题意，前20项中，奇数项的和S奇＝eq \f(1,3)×75＝25， 偶数项的和S偶＝eq \f(2,3)×75＝50， 又S偶－S奇＝10d，所以d＝eq \f(50－25,10)＝eq \f(5,2)． 答案：　eq \f(5,2) 即时练3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________． 解析：　因为{an}是等差数列， 所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6， 即2(S6＋12)＝－12＋45－S6，解得S6＝3． 又2(S9－S6)＝S6－S3＋S12－S9， 即2×(45－3)＝3＋12＋S12－45，解得S12＝114． 答案：　114 应用二、等差数列前n项和最值问题 在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解析：　法一：由S9＝S17得9a1＋eq \f(9×8,2)d ＝17a1＋eq \f(17×16,2)d， 又a1＝25，∴d＝－2． 则Sn＝25n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169， 故当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169． 法二：由S9＝S17得9a1＋eq \f(9×8,2)d＝17a1＋eq \f(17×16,2)d，又a1＝25，∴d＝－2， 则an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27． 令an>0，则－2n＋27>0，解得n<13．5， 即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数， 故数列{an}的前13项和最大，最大值为 S13＝13×25＋eq \f(13×12,2)×(－2)＝169． 等差数列前n项和的最值的求法 (1)若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1≤0))来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0,an＋1≥0))来确定． (2)配方法 Sn＝eq \f(d,2)n2＋(a1－eq \f(d,2))n ＝eq \f(d,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(a1－\f(d,2),d))) eq \s\up12(2)－eq \f(d,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1－\f(d,2),d))) eq \s\up12(2) ＝eq \f(d,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a1,d))))) eq \s\up12( )2－eq \f(d,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a1,d))) eq \s\up12(2)， 由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N＋，知当n取最接近eq \f(1,2)－eq \f(a1,d)的正整数时，Sn取得最大值或最小值．最接近eq \f(1,2)－eq \f(a1,d)的正整数有时有一 个，有时有两个． 即时练4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 B　[因为an＝2n－37，当n≥19时，an>0，当n≤18时，an<0，故Sn的最小值为S18，故选B．] 即时练5．已知数列{an}中，前n项和Sn＝n2－15n，则使Sn为最小值的n是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．9 C　[Sn＝n2－15n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(15,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(225,4)， ∴数列{Sn}的图象是分布在抛物线y＝(x－eq \f(15,2))2－eq \f(225,4)上的横坐标为正整数的离散的点． 又抛物线开口向上，以x＝eq \f(15,2)为对称轴，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)－7))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(15,2)))， 所以当n＝7，8时，Sn有最小值． 故选C．] 即时练6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 B　[设等差数列{an}的公差为d，则由已知a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋6d＝105，,3a1＋9d＝99，))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝39，,d＝－2，))所以an＝41－2n，由an＝41－2n≥0，得：n≤20eq \f(1,2)， ∴当1≤n≤20时，an>0，当n≥21时，an<0， 故当n＝20时，Sn达到最大值． 故选B．] 应用三、等差数列前n项和的实际应用 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元．并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？ 解析：　因为购买设备时已付150万元， 所以欠款为1 000万元． 依据题意，知其后应分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，……，an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－0．5(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)， 所以数列{an}是以60为首项，－0．5为公差的等差数列， 所以a10＝60－9×0．5＝55．5， S20＝eq \f(20×[60＋（60－19×0.5）],2)＝1 105． 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元)． 故分期付款的第10个月应付55．5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元． 应用等差数列解决实际问题的一般思路 (1)根据题设条件，建立数学模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型． (2)利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解． (3)把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．　　 即时练7．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱心的活动．已知第一天募捐到1 000元，第二天募捐到1 500元，第三天募捐到2 000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20 000元的目标至少需要的天数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　[设第n天募捐到an元，则数列{an}是以1 000为首项，500为公差的等差数列， 所以前n项和Sn＝1 000n＋eq \f(n（n－1）,2)×500 ＝250n(n＋3)， 因为S7＝17 500，S8＝22 000， 所以至少需要8天可完成募捐目标．] 即时练8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________m． 解析：　假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋eq \f(9×8,2)×20＋10×20＋eq \f(10×9,2)×20＝2 000(m)． 答案：　2 000 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63　　 B．45　　　　 C．36　　　　 D．27 B　[数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， ∵S3＝9，S6－S3＝27，∴S9－S6＝45， 即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45．] 2．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有(　　) A．195尺 B．133尺 C．130尺 D．135尺 B　[9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项a1＝5，记公差为d． 由S30＝5×30＋eq \f(30×29,2)d＝390，得d＝eq \f(16,29)， 则S15＝15×5＋eq \f(15×14,2)×eq \f(16,29)＝75＋eq \f(15×7×16,29)≈133．故选B．] 3．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 解析：　设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝eq \f(（n＋1）（a1＋a2n＋1）,2) ＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝eq \f(n（a2＋a2n）,2)＝nan＋1， 所以eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n)＝eq \f(44,33)，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：　11　7 4．已知等差数列{an}满足S3＝18，a2＋a4＝10，则数列{an}的通项公式为________，Sn的最大值为______． 解析：　由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,2a1＋4d＝10，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝－1，)) ∴an＝8－n，即数列{an}的通项公式为an＝8－n， ∵Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝eq \f(n（7＋8－n）,2)＝－eq \f(1,2)n2＋eq \f(15,2)n ＝－eq \f(1,2)(n－eq \f(15,2))2＋eq \f(225,8)， ∴当n＝7或8时，Sn取最大值28． 答案：　an＝8－n　28 $$