1.2.1 等差数列及其通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 1．2　等差数列 1．2．1　等差数列及其通项公式 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 同一个 公差 d 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 a1＋(n－1)d 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 M 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 课 时 精 练（三） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 随 堂 演 练 [学习目标]　1． 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点一　等差数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986． ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10． 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062．对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于_________常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的______，通常用字母___表示． 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d． ①1，3，5，7，9，…； ②9，6，3，0，－3，…； ③1，3，4，5，6，…； ④7，7，7，7，7，…； ⑤1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，…． 解析：　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是； ④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．　　 即时练1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　[A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．] 知识点二　等差数列的通项公式 [问题导引]　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_________________(n∈N＋)． 在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 解析：　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.)) (2)设数列{an}的公差为d． 由已知得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.)) ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， a9＝2×9－1＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 即时练2．等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝(　　) A．eq \f(4,3)　　 B．eq \f(2,3)　　　 C．1　　　　 D．2 B　[由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝eq \f(2,3)，故选B．] 即时练3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________． 解析：　设等差数列{an}的公差为d，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＋a1＋8d＝16，,a1＋3d＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋7d＝8，,a1＋3d＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝\f(7,4)，,a1＝－\f(17,4)，)) 所以a12＝a1＋11d＝－eq \f(17,4)＋11×eq \f(7,4)＝eq \f(60,4)＝15，所以a12的值是15． 答案：　15 知识点三　等差中项 [问题导引]　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2． 在两个数a，b之间插入数M，使a，M, b成等差数列，则___称为a与b的等差中项． (1)已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为(　　) A．eq \r(3)　　 B．eq \r(2)　　　　 C．eq \f(1,\r(3))　　　　 D．eq \f(1,\r(2)) (2){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　) A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2) 解析：　(1)a，b的等差中项为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2))))＝eq \f(1,2)×(eq \r(3)－eq \r(2)＋eq \r(3)＋eq \r(2))＝eq \r(3)． (2)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1． 答案：　(1)A　(2)C 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法． 即时练4．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则eq \f(a,b)等于(　　) A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3) C　[eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))所以a＝eq \f(x,2)，b＝eq \f(3,2)x．所以eq \f(a,b)＝eq \f(1,3)．] 即时练5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 C　[因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39．] 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1　　　　 B．4，7，10，13，16 C．eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1，1，2 ABC　[由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是(　　) A．1，4 B．－1，－4 C．4，1 D．－4，－1 B　[n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4．] 3．等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前三项依次是a－1，a＋2，2a＋1，则a值为(　　) A．2　　 B．1　　　　 C．4　　　　 D．8 C　[由题意a－1＋2a＋1＝2(a＋2)，解得a＝4．故选C．] 4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________． 解析：　由题意知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝4，,a4＝a1＋3d＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝－1，,a1＝5.)) ∴a6＝a1＋5d＝0． 答案：　0 $$