1.1 第2课时 数列的递推公式与单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 1．1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式与单调性 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 a1 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 大于 an＋1>an 小于 an＋1<an 大于 小于 相等 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练（二） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　数列的递推公式 [问题导引]　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，…… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数字表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：　(1)36　(2)an＋1－an＝n＋1 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；______称为数列{an}的初始条件． 角度一　由递推公式求数列的某指定项 已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝ 3an－1＋eq \f(（－1）n,2)(n∈N＋，且n>1)，写出数列{an}的前5项． 解析：　由题意，得a2＝3a1＋eq \f(（－1）2,2)，而a1＝1， 所以a2＝3×1＋eq \f(（－1）2,2)＝eq \f(7,2)． 同理a3＝3a2＋eq \f(（－1）3,2)＝10，a4＝3a3＋eq \f(（－1）4,2)＝eq \f(61,2)，a5＝3a4＋eq \f(（－1）5,2)＝91． 由递推公式求数列的某指定项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．　　 即时练1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是______． 解析：　因为a1＝0，所以a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255． 答案：　255 角度二　由递推公式求数列的通项公式 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋eq \f(1,n（n＋1）)，n∈N＋，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－eq \f(1,n))an－1(n≥2)，求通项公式an． 解析：　(1)∵an＋1－an＝eq \f(1,n（n＋1）)， ∴a2－a1＝eq \f(1,1×2)； a3－a2＝eq \f(1,2×3)； a4－a3＝eq \f(1,3×4)； … an－an－1＝eq \f(1,（n－1）n)． 以上各式累加得，an－a1＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,（n－1）n) ＝(1－eq \f(1,2))＋(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))＋…＋(eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n))＝1－eq \f(1,n)． ∴an＋1＝1－eq \f(1,n)，∴an＝－eq \f(1,n)(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－eq \f(1,n)(n∈N＋)． (2)∵a1＝1，an＝(1－eq \f(1,n))an－1(n≥2)， ∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n)，an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×eq \f(an－2,an－3)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×eq \f(n－3,n－2)×…×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,n)． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝eq \f(1,n)(n∈N＋)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式； (2)累乘法：当eq \f(an,an－1)＝g(n)时，常用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1求通项公式．　　 即时练2．若a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解析：　∵anan－1＝an－1－an，∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝1． ∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1))＋(eq \f(1,a3)－eq \f(1,a2))＋…＋(eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)) ∴eq \f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq \f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝eq \f(1,2)，符合上式，∴an＝eq \f(1,n＋1)(n∈N＋)． 即时练3．若a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)，写出数列的前5项，猜想an并证明． 解析：　由a1＝2，an＋1＝3an，得： a2＝3a1＝3×2， a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2， a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n－1， 证明如下：由an＋1＝3an得eq \f(an＋1,an)＝3． 因此可得eq \f(a2,a1)＝3，eq \f(a3,a2)＝3，eq \f(a4,a3)＝3，…，eq \f(an,an－1)＝3． 将上面的n－1个式子相乘可得eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝3n－1． 即eq \f(an,a1)＝3n－1，所以an＝a1·3n－1， 又a1＝2，故an＝2·3n－1． 知识点二　数列的单调性 名称 含义 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项，即____________ 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项____________ 摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项 常数列 各项都______的数列 已知函数f(x)＝eq \f(1－2x,x＋1)(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解析：　(1)证明：因为f(x)＝eq \f(1－2x,x＋1)＝eq \f(3－2（x＋1）,x＋1)＝－2＋eq \f(3,x＋1)， 所以an＝－2＋eq \f(3,n＋1)．因为n∈N＋，所以an>－2． (2)数列{an}为递减数列．理由如下： 因为an＝－2＋eq \f(3,n＋1)，所以 an＋1－an＝(－2＋eq \f(3,n＋2))－(－2＋eq \f(3,n＋1)) ＝eq \f(3,n＋2)－eq \f(3,n＋1)＝eq \f(－3,（n＋2）（n＋1）)<0， 即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列． 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号． 即时练4．已知数列{an}的第n项可以表示为eq \f(2n,3n＋1)，n∈N＋，试判断数列的增减性． 解析：　因为{an}的第n项为eq \f(2n,3n＋1)，所以{an}的第n＋1项为eq \f(2（n＋1）,3（n＋1）＋1)．因为eq \f(2（n＋1）,3（n＋1）＋1)－eq \f(2n,3n＋1)＝eq \f(2n＋2,3n＋4)－eq \f(2n,3n＋1) ＝eq \f(（2n＋2）（3n＋1）－2n（3n＋4）,（3n＋4）（3n＋1）) ＝eq \f(6n2＋8n＋2－6n2－8n,（3n＋4）（3n＋1）)＝eq \f(2,（3n＋4）（3n＋1）)>0， 所以eq \f(2（n＋1）,3（n＋1）＋1)>eq \f(2n,3n＋1)，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项， 故数列{an}是递增数列． 数列的最值 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))) eq \s\up12(n)，n∈N＋．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解析：　法一：an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))) eq \s\up12(n＋1)－(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))) eq \s\up12(n)＝eq \f(（9－n）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),11)， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 则a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))) eq \s\up12(9)． 法二：根据题意，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1)≤（n＋1）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n)，,（n＋1）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n)≥（n＋2）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1)，)) 解得9≤n≤10． 又n∈N＋，则n＝9或n＝10．故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11))) eq \s\up12(9)． 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．　　 即时练5．已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　) A．3　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 A　[因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值．] 1．在数列{an}中，an＝eq \f(n＋2,n＋1)，则{an}(　　) A．是常数列　　 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 D　[在数列{an}中，an＝eq \f(n＋2,n＋1)＝1＋eq \f(1,n＋1)，由反比例函数的性质得{an}是递减数列．] 2．数列{an}满足an＋1＝1－eq \f(1,an)，且a1＝2，则a2 021的值为(　　) A．eq \f(1,2)　　 B．－1　　　　 C．2　　　　 D．1 A　[a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，a5＝eq \f(1,2)，a6＝－1，a7＝2，依此类推知a2 021＝ eq \f(1,2)．] 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n A　[∵在数列{an}中，an＋1－an＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝lneq \f(n＋1,n)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝lneq \f(n,n－1)＋lneq \f(n－1,n－2)＋…＋lneq \f(2,1)＋2 ＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)·\f(n－1,n－2)…·\f(2,1)))＋2＝2＋ln n．故选A．] 4．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4＝________． 解析：　因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8． 答案：　8 $$