1.1 第1课时 数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 1．1　数列的概念 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1课时　数列的概念及通项公式 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 一定顺序 第一位 第二位 第n位 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 {an} 项数有限 项数无限 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练（一） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 [学习目标]　1． 通过日常生活和数学中的实例．2．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．3．了解数列是一种特殊函数． 知识点一　数列的概念 [问题导引]　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 1．数列与数列的项 (1)数列：按照____________排成的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在_________的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在_________的数叫作数列的第2项，…，排在_________的数叫作数列的第n项． 2．数列的一般形式 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为_________． 3．数列的分类 ____________的数列称为有穷数列；____________的数列称为无穷数列． (1)下列说法中正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列－1，3，6，－5的第三项为6 D．数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋的函数 (2)下列数列： ①1，2，22，23，…，263； ②1，0．5，0．52，0．53，…； ③0，10，20，30，…，1 000； ④2，4，6，8，10，…； ⑤－1，1，－1，1，－1，…； ⑥7，7，7，7，…； ⑦eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，… 其中有穷数列是________，无穷数列是________(填序号)． 解析：　(1)由数列定义知，A，B不正确；D不正确的原因是数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值． (2)根据数列的概念知有穷数列是①③，无穷数列是②④⑤⑥⑦． 答案　(1)C　(2)①③　②④⑤⑥⑦ 1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． 2．判断数列是有穷或无穷数列，只需要看项的个数是有限还是无限即可． 即时练1．数列{1，2，3，…，n}和数列{1，2，3，…}都是正整数数列，项数分别是多少？ 解析：　第一个数列是有穷数列，共n项，第二个数列是无穷数列． 知识点二　数列的表示方法 [问题导引]　我们发现知识点一问题导引中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))； 对于②，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)，n∈N＋； 对于③，an＝2 023，n∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x是本班学生的学号))))； 对于⑤，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)，n∈N＋． 数列的表示方法 (1)分类：解析式法、表格法、图象法． (2)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，－eq \f(1,8)，…； (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－2，0，－2，0，…． 解析：　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数的一半，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（－1）n＋1,2n)，n∈N＋． (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N＋． (3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋． (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N＋． 由数列的前n项求通项公式的解题策略 (1)用观察法求数列通项公式的策略 (2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 即时练2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…； (2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)，…； (3)7，77，777，7 777，…． 解析：　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（－1）n,n×（n＋1）)，n∈N＋． (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（n＋1）2－1,n＋1)，n∈N＋． (3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，eq \f(7,9)×(10 000－1)， 即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，eq \f(7,9)×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N＋． 数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n－2,3n＋1)． (1)求a10； (2)判断eq \f(7,10)是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由； (3)求证：0<an<1． 解析：　(1)根据题意可得a10＝eq \f(3×10－2,3×10＋1)＝eq \f(28,31)． (2)令an＝eq \f(7,10)，即eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(7,10)，解得n＝3，所以eq \f(7,10)为数列{an}中的项，为第3项． (3)证明：由题知an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)， 因为n∈N＋，所以3n＋1>3，所以0<eq \f(3,3n＋1)<1， 所以0<1－eq \f(3,3n＋1)<1，即0<an<1． 1．利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 即时练3．已知数列{an}的通项公式an＝eq \f(（－1）n（n＋1）,（2n－1）（2n＋1）)，n∈N＋． (1)写出它的第10项； (2)判断eq \f(2,33)是不是该数列中的项． 解析：　(1)a10＝eq \f(（－1）10×11,19×21)＝eq \f(11,399)． (2)令eq \f(n＋1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(2,33)，化简得8n2－33n－35＝0， 解得n＝5(n＝－eq \f(7,8)舍去)． 当n＝5时，a5＝－eq \f(2,33)≠eq \f(2,33)．所以eq \f(2,33)不是该数列中的项． 1．(多选)下列数列是无穷数列的是(　　) A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n) ABC 2．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C．1，1，1，1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 D　[由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下面哪一个数是这个数列的一项(　　) A．18　 B．21　　　 C．25　　　 D．30 D　[因为an＝n2＋n＝(n＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)，所以数列{an}是递增数列，当n＝3时，a3＝32＋3＝12，当n＝4时，a4＝42＋4＝20，当n＝5时，a5＝52＋5＝30，当n＝6时，a6＝62＋6＝42，故选D．] 4．在数列{an}中，an＝51－n，则a3等于________． 解析：　由已知得a3＝51－3＝eq \f(1,25)． 答案：　eq \f(1,25) $$