1.2.5 空间中的距离-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 1．2.5　空间中的距离 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 |AB| 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(八) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]　用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 知识点一　空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝_________ 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设eq \o(AP,\s\up15(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝ eq \r(|a|2－(a·u)2) 分类 向量求法 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α 的距离为d＝_________ eq \f(|\o(AP,\s\up15(→))·n|,|n|) 知识点二　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1．相互平行的直线与平面间的距离 设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则eq \o(AC,\s\up15(→))∥n，∵eq \o(AB,\s\up15(→))·n＝(eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CB,\s\up15(→)))·n＝eq \o(AC,\s\up15(→))·n，∴|eq \o(AB,\s\up15(→))·n|＝|eq \o(AC,\s\up15(→))|·|n|. ∴直线a到平面α的距离d＝|eq \o(AC,\s\up15(→))|＝_________． eq \f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|) 2．两平行平面间的距离 设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离 d＝_________． eq \f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|) eq \a\vs4\al(特别提醒) (1)eq \f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)表示向量eq \o(AB,\s\up15(→))在法向量n上的投影向量的长度，因此，点B到平面α的距离也可以表示成eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up15(→))·n,|n|)))或eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))·\f(n,|n|))). (2)由于eq \f(n,|n|)＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质上就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d＝|eq \o(AB,\s\up15(→))·n0|. (3)已知直线l的方向向量是a，点P∉l，P′∈l， 则点P到直线l的距离为 d′＝ eq \r(|\o(PP′,\s\up15(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PP′,\s\up15(→))·a,|a|)))\s\up12(2)).　　 1．已知直线l的方向向量n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　) A．eq \f(\r(30),5) B．eq \r(30) C．eq \f(\r(30),10) D．2eq \r(30) A　[由已知得eq \o(PA,\s\up15(→))＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝ eq \r(\o(PA,\s\up15(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up15(→))·\f(n,|n|)))\s\up12(2))＝ eq \r(3－\f(9,5))＝eq \f(\r(30),5).] 2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A．eq \f(\r(6),6) B．eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),3) D　[以P为坐标原点，eq \o(PA,\s\up15(→))，eq \o(PB,\s\up15(→))，eq \o(PC,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向．建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)． 所以eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－1，1，0)，eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－1，0，1)． 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up15(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up15(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.))令x＝1，则可得n＝(1，1，1)，则d＝eq \f(|\o(PA,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3).] 3．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(\r(3),2) B　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以eq \o(DA1,\s\up15(→))＝(1，0，－1)，eq \o(DC1,\s\up15(→))＝(0，1，－1)，eq \o(AD,\s\up15(→))＝(－1，0，0)， 设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，1)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DA1,\s\up15(→))＝0，,m·\o(DC1,\s\up15(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y－1＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)) 故m＝(1，1，1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝eq \f(|\o(AD,\s\up15(→))·m|,|m|)＝eq \f(1,\r(3)) ＝eq \f(\r(3),3).] 4．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为_________． 解析：　以D为原点，eq \o(DA,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DD1,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，B1(1，1，1)，所以eq \o(EF,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \o(EB1,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)). 设平面EFD1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up15(→))＝0，,n·\o(EB1,\s\up15(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x－\f(1,2)y＝0，,\f(1,2)x＋z＝0，))令y＝1， 则可得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)))，又eq \o(DF,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))， ∴d＝eq \f(|\o(DF,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,3). 答案：　eq \f(1,3) 题型一　求点到直线的距离 在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． [思路点拨]　 思路一　eq \x(\a\al(建立空间直,角坐标系))→eq \x(\a\al(作出点O1到直,线AC的垂线段))→eq \x(\a\al(利用待定系,数法求解)) 思路二　eq \x(\a\al(建立空间直,角坐标系))→eq \x(\a\al(用坐标表示所,涉及的向量))→eq \x(\a\al(利用点线距,公式求解)) 解析：　法一　建立如图(1)所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则eq \o(O1D,\s\up15(→))＝(x，y，－2)，eq \o(AD,\s\up15(→))＝(x－2，y，0)． ∵eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－2，3，0)，eq \o(O1D,\s\up15(→))⊥eq \o(AC,\s\up15(→))，eq \o(AD,\s\up15(→))∥eq \o(AC,\s\up15(→))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)，))∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))， ∴|eq \o(O1D,\s\up15(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))\s\up12(2)＋(－2)2)＝eq \f(2\r(286),13). 即O1到直线AC的距离为eq \f(2\r(286),13). 法二　连接AO1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴eq \o(AO1,\s\up15(→))＝(－2，0，2)，eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－2，3，0)， ∴eq \o(AO1,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4， ∴eq \f(\o(AO1,\s\up15(→))·\o(AC,\s\up15(→)),|\o(AC,\s\up15(→))|)＝eq \f(4,\r(13))，∴O1到直线AC的距离 d＝ eq \r((|\o(AO1,\s\up15(→))|)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AO1,\s\up15(→))·\o(AC,\s\up15(→)),|\o(AC,\s\up15(→))|)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(286),13). eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题．过已知点作直线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法． (2)直接套用点线距公式求解，其步骤为： ①求出直线的方向向量a； ②求出所求点到直线上一点的向量eq \o(PP′,\s\up15(→))及其在直线的方向向量a上的投影； ③代入公式． 另外，注意两条平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 即时练1.已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解析：　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为eq \o(A1C1,\s\up15(→)) ＝(－4，3，0)，而eq \o(BC1,\s\up15(→)) ＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝eq \r(\o(BC1,\s\up15(→))2－(\o(BC1,\s\up15(→))·\f(\o(A1C1,\s\up15(→)),|\o(A1C1,\s\up15(→))|))2)＝eq \r(10－(\f(9,5))2)＝eq \f(13,5) . 题型二　求点到平面的距离或直线到平面的距离 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． [思路点拨]　直接采用建系的方法，利用点到平面距离的向量公式求解． 解析：　(1)以D为坐标原点，eq \o(DA,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DP,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))， 所以eq \o(EF,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq \o(PE,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1))，eq \o(DE,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))， 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up15(→))＝0，,n·\o(PE,\s\up15(→))＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0.)) 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量， 所以点D到平面PEF的距离为 eq \f(|\o(DE,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq \f(3\r(17),17). (2)由(1)知A(1，0，0)， 所以eq \o(AE,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)). 因为AC∥平面PEF， 所以点A到平面PEF的距离为eq \f(|\o(AE,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(17))＝eq \f(\r(17),17)， 所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17). eq \a\vs4\al(方法技巧) 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标(如图中，eq \o(AP,\s\up15(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)； (4)求距离d＝eq \f(|\o(AP,\s\up15(→))·n|,|n|).　　eq \a\vs4\al() 即时练2.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 解析：　如图所示，以D为坐标原点，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DA,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴正方向，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，eq \r(3)，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，eq \r(3)，2)，C1(1，0，2)， ∴eq \o(A1C,\s\up15(→))＝(1，－eq \r(3)，－2)，eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(－1，－eq \r(3)，2)，eq \o(AD,\s\up15(→))＝(0，－eq \r(3)，0)． (1)证明：设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB1,\s\up15(→))·n＝0，,\o(AD,\s\up15(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－\r(3)y＋2z＝0，,－\r(3)y＝0.)) 令z＝1，则x＝2，y＝0，∴n＝(2，0，1)． ∵eq \o(A1C,\s\up15(→))·n＝1×2＋(－eq \r(3))×0＋(－2)×1＝0， ∴eq \o(A1C,\s\up15(→))⊥n. ∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D． (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2，0，1)，且 eq \o(C1A,\s\up15(→))＝(－1，eq \r(3)，－2)， ∴点C1到平面AB1D的距离d＝eq \f(|\o(C1A,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5). 易错点　错把法向量的长度当成点到平面的距离 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离． [正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝2a(a>0)，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，\f(1,3)))， 从而eq \o(GE,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,3)，\f(2,3)))，eq \o(BD,\s\up15(→))＝(0，－2a，1)，eq \o(DA,\s\up15(→))＝(2a，0，－1)，eq \o(DE,\s\up15(→))＝(a，a，0)． ∵eq \o(GE,\s\up15(→))⊥eq \o(BD,\s\up15(→))，∴eq \o(GE,\s\up15(→))·eq \o(BD,\s\up15(→))＝0，∴a＝1. 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA,\s\up15(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up15(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－z＝0，,x＋y＝0，))令x＝1，则y＝－1，z＝2， 可得平面AED的一个法向量n＝(1，－1，2)．又eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0，0，2)，∴点A1到平面AED的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AA1,\s\up15(→))·n,|n|)))＝eq \f(2\r(6),3). [易错探因]　本题易错的地方是误认为法向量的长度就是点到平面的距离，得到点A1到平面AED的距离d＝|n|＝eq \r(6). $$