18.2.3 正方形讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2.3 正方形 认知定位 重点 1．正方形的定义和性质定理的应用． 2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别． 难点 1．正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系． 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 认知要求 1．理解并运用正方形的定义计算和证明． 2．理解并运用正方形的性质和判定进行计算和证明． 3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系，理解一般与特殊的关系． 考点导航 考点1 正方形的定义和性质 考点精讲 1．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【精讲1】（2023秋•达州期末）如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为　　 A． B． C．0.5 D．1 【答案】 【分析】由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解． 【解答】解：正方形的边长为2， ， ， ， ， 故选：． 【精讲2】（2023秋•台州期末）面积相等的正方形与长方形按如图叠放，已知，，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方形和矩形的性质得到，，，进而求出正方形的面积和长方形的面积，根据正方形的面积长方形的面积列出等式，化简即可得到答案． 【解答】解：四边形是正方形，， ， 四边形是长方形，，， ，， 正方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积长方形的面积， ， ． 故选：． 【精讲3】（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（　　） A． B． C．90°﹣2α D． 【答案】A 【分析】根据正方形性质得出AD＝BC＝AB，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AB∥DC，根据中点的定义得到AE＝BF，BF＝CF，可证得△ADE≌△BAF（SAS），可得∠ADE＝∠BAF，可证得AF⊥DE；延长AF交DC的延长线于H，可证得△ABF≌△HCF，AB＝HC＝CD，再根据直角三角形的性质可得GC＝CD＝CH，再根据等腰三角形的性质和同角的余角相等，以及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝AB，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AB∥DC， ∴∠DCG＝90°﹣∠BCG＝90°﹣α， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴AE＝BF，BF＝CF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠DAG+∠BAF＝90°， ∴∠DAG+∠ADE＝90°＝∠AGE， ∴AF⊥DE． 如图：延长AF交DC的延长线于H， ∵AB∥DC， ∴∠BAF＝∠H， 在△ABF和△HCF中， ， ∴△ABF≌△HCF（ASA）， ∴AB＝HC＝CD， ∴点C是DH的中点， ∵AF⊥DE， ∴∠AGH＝90°， ∴GC＝CD＝CH， ∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣∠DCG）＝（180°﹣90°+α）＝45°+， ∴∠ADE＝90°﹣∠CDG＝45°﹣． 故选：A． 名师点拨 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 考点2 正方形的判定 考点精讲 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 【精讲1】（2023秋•芦溪县期中）如图，在中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．若，求证：四边形是正方形． 【分析】根据有一个角是的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ， 是