18.2.2 菱形讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2.2 菱形 认知定位 重点 1．菱形性质定理的运用． 2．菱形的定义和判定定理的运用． 难点 1．菱形性质定理的理解及灵活应用． 2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算． 认知要求 1．理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质． 2．能运用菱形的性质定理计算或证明，能根据菱形的性质解决简单的实际问题． 3．会利用对角线的长求菱形的面积． 4．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算． 5．了解菱形的现实应用和常用判别条件． 考点导航 考点1 菱形的概念和性质 考点精讲 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 3．菱形与平行四边形、矩形的性质对比 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 对角线互相平分且相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 中心对称图形、轴对称图形 中心对称图形、轴对称图形 两条对角线把四边形分成了四个面积相等的三角形 两条对角线把四边形分成了四个面积相等的等腰三角形 两条对角线把四边形分成了四个面积相等的直角三角形， 菱形的面积等于两对角线乘积的一半 【精讲1】（2023秋•华安县校级期末）下列选项中，菱形不具有的性质是　　 A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】 【分析】根据菱形的性质可判断． 【解答】解：菱形不具有的性质是对角线相等， 选项符合题意， 故选：． 【精讲2】（2023秋•东港市期末）菱形的对角线长分别为，，则此菱形的周长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，两对角线的一半与边长构成直角三角形，然后利用勾股定理列式求出边长，再根据周长定义解答． 【解答】解：如图，菱形的两条对角线长分别为，， ，， 在中，根据勾股定理，， 所以，周长． 故选：． 【精讲3】（2023秋•淄川区期末）如图，在菱形中，，对角线．若过点作，垂足为，则的长为　　 A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，然后根据勾股定理计算出长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案． 【解答】解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ，，， ， ， ， ， ， 菱形的面积是， ， ， ， 故选：． 名师点拨 1．菱形具有平行四边形的一切性质． 2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 3．因为菱形的对角线互相垂直，所以在解决菱形问题时，常与勾股定理结合起来． 考点2 菱形的判定 考点精讲 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【精讲1】（2023秋•定边县期末）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用． 【解答】解：四边形是平行四边形， 、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项正确； 、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项正确； 、当，平分时，易证得，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项正确； 由排除法可得选项错误． 故选：． 【精讲2】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是　　 A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】 【分析】翻折后得到的四边形的四条边都相等． 【解答】解：由，将沿边翻折可得，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形是菱形． 故选：． 【精讲3】（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：　　，使四边形成为菱形． 【答案】（或或或等）．