18.2.1 矩形讲义 2023—2024学年人教版数学八年级下册

18.2.1 矩形 认知定位 重点 1．理解并掌握矩形的性质及其推论． 2．矩形的性质与判定的综合运用． 难点 1．矩形性质及推论的运用． 2．矩形的性质与判定的综合运用． 认知要求 1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 2．探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题． 3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理． 4．掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，应用定理． 考点导航 考点1 矩形的概念、性质 考点精讲 1．有一个角是直角的平行四边形叫矩形(长方形). 2． 矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； （4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形； （5）矩形的两条对角线把它分成了四个面积相等的等腰三角形． 【精讲1】（2023秋•兴宁市期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等； 故选项B、C、D不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【精讲2】（2023秋•绥化期末）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　） A．12 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】如图所示：∠AOD＝∠BOC＝60°，即：∠COD＝120°＞∠AOD＝60°，AD是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA＝OD＝OC＝OB＝7.5，又因为∠AOD＝∠BOC＝60°，所以AD的长即可求出． 【解答】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60° ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的对角线互相平分且相等） 又∵∠AOD＝∠BOC＝60°， ∴OA＝OD＝AD＝7.5， ∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60° ∴AD＜DC 所以该矩形较短的一边长为7.5， 故选：C． 【精讲3】（2023秋•梅县区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E． （1）求证：AC＝CE． （2）若∠BOC＝120°，CE＝4，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）2． 【分析】（1）可证四边形BDCE是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC＝BD， ∴BE∥CD． ∵BD∥CE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴BD＝CE， ∴AC＝CE． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°． ∴∠ACB＝30°， ∵CE＝4， ∴AC＝CE＝4， ∴AB＝2． 名师点拨 1. 矩形具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定具有矩形的性质； 2. 在几何中，有图有真相，没图时最好先画出图形； 3. 在矩形问题中，常常与直角三角形的性质结合起来运用. 考点2 直角三角形的性质 考点精讲 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【精讲1】（2023秋•三明期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 k m B．3.6 k m C．4.2 k m D．4.8 k m 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可． 【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴， ∵AB＝4.8 km， ∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km， 故选：A． 【精讲2】（2023春•赞皇县期末）如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，AB＝3， ∴OM是Rt△AOB的中线， ∴， ∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变， ∴OM的长度也不变， 故选：C． 【精讲3】（2023秋•太康县期末）如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F