精品解析：海南省海南中学2023-2024学年衍林杯学科竞赛高一下学期数学二试试题

海南中学2022-2023学年“衍林杯”学科竞赛 高一数学二试试题 （满分100分，总时量60分钟） 考生注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、（本题满分40分） 1. 如图所示，是圆直径，是圆上一点，以为切点的切线交线段的延长线于点，作于于. （1）求证：； （2）若，求长. 二、（本题满分30分） 2. 试求出所有正整数使得关于二次方程至少有一个整数根. 三、（本题满分30分） 3. 若实数满足，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南中学2022-2023学年“衍林杯”学科竞赛 高一数学二试试题 （满分100分，总时量60分钟） 考生注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、（本题满分40分） 1. 如图所示，是圆的直径，是圆上一点，以为切点的切线交线段的延长线于点，作于于. （1）求证：； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助直线与圆相切的性质结合题意可得与全等，即可得； （2）借助直线与圆相切的性质结合切割线定理计算即可得. 小问1详解】 连接，由是圆的直径， 得，即， 又，所以， 所以， 由是圆的切线， 得， 又， 所以与全等，故； 【小问2详解】 由是圆切线，得， 在直角中，由得， 所以，则， 由切割线定理，得， 则 二、（本题满分30分） 2. 试求出所有正整数使得关于的二次方程至少有一个整数根. 【答案】正整数的值有4个，分别为1，3，6，10 【解析】 【分析】 将方程可化为，分离参数可得，根据题意可知，解不等式求出整数解，然后代入求出的值即可. 【详解】解：原方程可化为，易知，此时 因为是正整数，即. 又，则 即，解得 因为且是整数，故只能取，，，0，1，2， 依次带入的表达式得，，，，， 从而满足题意的正整数的值有4个，分别为1，3，6，10. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 三、（本题满分30分） 3. 若实数满足，求的最大值. 【答案】3 【解析】 【分析】设，即可转化为实数满足，求最大值，借助不等式可得，，即有，计算即可得的最大值，即可得解. 【详解】设，该题变为： 已知实数满足，求的最大值. 则（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 相加得（当且仅当时取等号）， 再由，可得， 当且仅当或时取等号. 故的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$