数列与不等式题型讲义-2024届高三数学二轮复习

数列与不等式题型 例1．已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 解析（1）证明：∵， ，，， , 又， ， , ， ， 又， ， , ,即， ， 又， ， ， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ， 即， ， ， ， 又， ， 即, ， ， ， 在是一个增数列， ， ， ∴满足题意的n的最小值是20． 例2．已知数列满足记数列的前项和为， (1)求证：数列为等比数列，并求其通项； (2)求； (3)问是否存在正整数，使得成立？说明理由. 解析（1） ， 即， 所以， （2） ，所以， 当为奇数时，可令， 则 ， 当为偶数时，可令 则； （3）假设存在正整数 ，使得 成立， 因为 ， ， 所以只要 即只要满足 ①： ，和②： ， 对于①只要 就可以； 对于②， 当为奇数时，满足 ，显然不成立， 当为偶数时，满足，即 令 ， 因为 由于的对称轴为，故在且为偶数，单调递减， 当时，，故 即 ，且当时，最大，且最大值为， 因此， ， 所以当为偶数时，②式成立，即当为偶数时，成立 . 例3．已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列. （2）记是数列的前项和： ①求； ②求满足的所有正整数. 解析（1）设， 因为 ， 所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列. （2）①由（1）得 ， 即，由， 得 ， 所以 ， ， ②显然当时，单调递减， 又当时，， 当时，，所以当时，； ， 同理，当且仅当时，， 综上，满足的所有正整数为和. 例4．已知数列，满足，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)设数列的前n项和为，求证：． 解析（1）因为，所以为常数数列， 又因为，，且，所以，故； （2）由于 ，若 ，则 ，而 ， 所以 和 都是正数列， 由（1）可知， 所以，当且仅当时取等号． 此时，即为常数列，与矛盾，所以， 又，所以； （3）由于，所以，则， 故，所以， 当时， ， 所以当n＝1时，，所以 ． 例5．已知数列满足， (1)求的值； (2)记，证明：数列为等比数列． 解析（1）由递推关系可知，，， . （2） ， ， 所以 ，又， 即数列是以为首项，为公比的等比数列. 例6．记为数列的前n项和，且满足． (1)若，求证：数列是等差数列； (2)若，设，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 解析（1）当时，， 当时，， 整理得，则， 两式相减，得， 因为，所以，所以数列是等差数列． （2）当时，， 令，得，则， 因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项为－r，公比为2的等比数列， 所以，所以． 因为， 所以， 则， 所以是递增数列，是递减数列， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 例7．已知数列满足． (1)设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由． 解析（1）证明：∵， 又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以bn＝1+(n－1)×1＝n， 由，得． （2）∵，， 所以， 依题意，要使对于n∈N*恒成立， 只需，即 解得m≥3或m≤-4． 又m＞0，所以m≥3， 所以正整数m的最小值为3． 例8．设数列的前n项和为，已知，（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列满足：，． （i） 求数列的通项公式； （ii）若数列的前n项和为，证明：， 解析（1）由，得（），                    两式相减，得，即（）．             因为，由，得，所以，                 所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2． （2）（i）由（1）知，， 由，得， 即， 即，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列． 所以，所以． （ii） ， 所以， 两式相减，得 ， 所以． ∵，∴ . 例9．已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求满足条件的最大的正整数. 解析（1）由，得， 则， 又因为 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 （2）由（1）得 因为， 所以 即 又因为为单调增函数, 所以满足的最大正整数为32即满足条件的 最大正整数 例10．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 解析（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，