基本不等式知识点与题型总结讲义-2024届高三数学二轮专题复习

基本不等式知识点与题型总结 教学内容 知识点一 基本不等式的定义及其使用 【基础知识框架】 1. 基本不等式原始形式 （1）若，则 （2）若，则 2. 基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则 3. 基本不等式的两个重要变形 （1）若，则 （2）若，则 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值； 【例题分析】 例1．已知，，，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 例2．已知，函数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．8 D．6 例3．已知，若的值最小，则为（ ） A． B． C． D． 例4．设，均为正数，则的最小值为________ 【变式训练】 1．已知，若，则的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 2．若正数满足，则的最大值为（ ） A．5 B． C． D． 3．函数的最小值为__________． 4．函数的最大值是__________. 5．函数的最小值为____________. 知识点二 利用不等式求最值 （一）（负数型） 【基础知识框架】 1. 若，则，此时_________，当且仅当____________取等号， 所以_________. 【例题分析】 例1．已知，函数的最大值是_____________. 【变式训练】 1．函数的最大值为__________． 2．已知，若，则的最大值为（ ） 知识点三 利用不等式求最值 （二）（凑项） 【基础知识框架】 形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式。 【例题分析】 例1. 已知，求函数的最小值； 例2. 已知，求函数的最小值； 例3. 已知，求函数的最大值； 【变式训练】 1. 已知，求函数的最小值； 2. 已知，求函数的最大值； 知识点四 利用不等式求最值 （三）（凑系数） 【基础知识框架】 形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式。 【例题分析】 例1．当时，求的最大值； 例2．当时，求的最大值； 【变式训练】 1.设，求函数的最大值。 2．若，求的最大值； 3.若，求的最大值； 知识点五 利用不等式求最值 （四）（分式型） 【基础知识框架】 1. 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以x，得，再使用基本不等式. 2. 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以x，得，再使用基本不等式. 3. 形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式. 4. 可利用换元法将（3）转换为（2）. 【例题分析】 例1. 若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 例2.已知，则函数的最小值为 ． 例3.若，则有最 值，值为 ． 例4. 若,则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 例5.若，则有最 值，且值为 ． 【变式训练】 1．已知，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2．已知，则函数的最小值为____________ . 3. 若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 知识点六 利用不等式求最值 （五）（“1”的妙用） 【基础知识框架】 1.若，求的最值，则==_________________________________. 2.若为常数，求的最值，则==_________________________________. 3.若求形如的最值，因为，则 =_________________________________________________. 【例题分析】 例1．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）已知x，，，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 例3．（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023春·浙江·高二统考学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 例5．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知，若，则的最小值是 （    ） A．7 B．9 C． D． 【变式训练】 1．（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）已知，且，则的最 小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2022秋·高一校考课时练习）已