10.3 直角三角形 第1课时教学设计　　2023—2024学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 春季 课题 10.3 直角三角形（第一课时） 教学目标 1.经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性。 2．结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题、互逆定理，知道原命题 成立其逆命题不一定成立。 3.进一步经历用几何图形和语言描述命题的条件和结论的过程，发展抽象思维。 教学内容 教学重点： 1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法。 2. 结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题、互逆定理。 教学难点： 利用勾股定理及其逆定理解决问题。 教学过程 【复习回顾】 本章三角形的有关证明我们已经学习了前两节，不管是全等三角形还是等腰三角形，我 们都是从角和边两个维度来研究的，所以我们今天要学习的直角三角形也是如此，除了具有 一般三角形的特征之外，直角三角形还有自己的特殊性，我们一起来回顾梳理一下。 关于角，我们在课本 53、54 页通过证明得到了两个定理，直角三角形的两个锐角互余， 有两个角互余的三角形是直角三角形。关于边，我们在课本 106 页通过证明也得到一个定理， 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。除此之外， 我们在七上的时候还研究过三边的关系，也就是勾股定理。 【设计意图】通过知识框图一起回顾梳理研究直角三角形的方法， 以及已学过的知识和 将要研究的新内容。 【知识探究】 【学习任务一】勾股定理的证明 1.回顾方法：同学们还记得吗？我们曾经是用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理， 实际上我们仍然能够证明勾股定理。 2. 自主探究：有关证明的过程大家可以按下暂停键先自主阅读课本 113 页“读一读 ”或 者继续观看微视频讲解（播放勾股定理的证明微视频） 其实勾股定理的证明方法有几百多种，感兴趣的同学可以课后思考用自己喜欢的方法证 明一下。 3．小结：勾股定理其实是直角三角形三边关系的一个性质定理，接下来我们来看一下勾 股定理的三种描述方法。 【设计意图】通过简单回顾数方格、割补图形的方法，然后观看微视频欧几里得和其他 证法，感受勾股定理多样化的证明方法，提升学生学习数学的兴趣和数学素养。 【学习任务二】勾股定理逆定理的证明 1.问题：如果将勾股定理反过来说，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平 方，这个三角形还是直角三角形吗？我们在七上学习这个内容时曾用度量的办法得出“这个 三角形是直角三角形 ”的结论。现在你能来证明这个结论吗？ 2.分析：我们要想论证这个结论，得先写出它的已知和求证。怎样证明呢？ 请同学们按下暂停键，在导学案上尝试证明。 3.论证：你能给出证明吗？（论述证明程） 4.几何画板验证：直观演示 a2 +b2 与 c2 大小变化从而引起的角度具体的变化情况。 当 a2 +b2>c2 时， ∠ACB 一直是个锐角； 当 a2 +b2<c2 时， ∠ACB 一直是个钝角； 当 a2 +b2 接近 c2 时， ∠ACB 在 90。左右，只有当 a2 +b2=c2 时， ∠ACB 才是直角。 5.提炼思想方法：我们一开始通过度量几组勾股数围成的三角形的一个角是 90。，到现在 通过证明的方法得到这个结论， 由特殊到一般，这是我们研究数学的一种非常重要的思想方 法，从而证明了勾股定理反过来说也成立。 6.小结：这是判断一个三角形是不是直角三角形的一个判定定理，接下来我们来看一下 勾股定理的三种描述方法。 【设计意图】除了用度量方法，通过论证证明勾股定理反过来说也是成立的，然后通过 几何画板直观演示只有在 a2 +b2=c2 时， ∠ACB 才是直角，让学生经历由特殊到一般的数学思 想，体会数学的严谨性。 【学以致用】 学习完这两个定理，请同学们按下暂停键，在导学案上完成这个题目。 已知：在△ABC 中，AB= 13cm ，BC= 10cm ，BC 边上的中线 AD= 12cm. 求证：AB=AC. 【设计意图】这是一道两个定理综合运用的典型例题，引导学生经历独立思考、思路分 析的过程，熟练应用两个定理解决问题，提前体会这种互逆关系。 【学习任务三】互逆命题和逆命题 1. 问题 1：这 4 个定理，它们的条件和结论之间有什么关系？ 结论：前一个命题的条件是后一个命题的结论，前一个命题的结论是后一个命题的条件。 像这样的两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那 么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 问题 2：如果给你一个命题，你能说出它的逆命题吗？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等。它的逆命题我们只需要找到原来命题的条件和结 论，把它们交换一下就可以了。那第二个呢