湖南省衡阳市2024届高三下学期联考数学试卷(无答案)

绝密★启用前 高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3.已知双曲线：的左焦点为，虚轴的上、下端点分别为A，B，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.已知是等比数列，且，，则（ ） A. B. C.1 D.2 5.已知，，则（ ） A. B. C.2 D.4 6.已知函数的部分图像如图所示，，则（ ） A.0 B. C. D. 7.某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失（单位：）满足，其中，分别为管道的内外半径（单位：），，分别为管道内外表面的温度（单位：℃），为保温材料的导热系数（单位：）.某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为.已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ） 参考数据：. A. B. C. D. 8.已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ） A.7 B.8 C. D.10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正四棱柱中，，，是棱的中点，则（ ） A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为 C.平面平面 D.直线与平面所成角的正弦值为 10.已知圆：，是直线：上一动点，过点作直线，分别与圆相切于点，，则（ ） A.圆上恰有一个点到的距离为 B.直线恒过点 C.的最小值是 D.四边形面积的最小值为 11.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，，则（ ） A. B.为奇函数 C.为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线在点处的切线方程为______. 13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则______. 14.已知有，两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知函数，当时，取得极值 （I）求的解析式； （II）求在区间上的最值 16.（15分） 某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58. （I）计算样本平均数和样本方差； （II）若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：，. 17.（15分） 如图（1）所示，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，，为边的中点，将沿折成直二面角，得到如图（2）所示的四棱锥. （I）若为棱的中点，证明：平面； （II）求二面角的正弦值. 图（1） 图（2） 18.（17分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，过的直线与交于，两点，的周长为8. （I）求的方程； （II）若直线与交于，两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值. 19.（17分） 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数， （I）求，； （II）若正整数，互质，证明：； （III）若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，，…，，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$