第22章 二次函数知识点归纳总结2023-2024学年人教版数学九年级上册

二次函数 【知识点拨】 要点一、二次函数的有关概念及一般形式 1、一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、任何一个二次函数的解析式，都可以化为（a ，b， c是常数，a0）的形式，因此，把（a ，b， c是常数，a0）叫做二次函数的一般式。 3、二次函数（a ，b， c是常数，a0）中，x ，y 是变量，a ，b ，c是常量。自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a必须是不等于0的实数。若a=0，则变成了y=bx+c。若b0,则y=bx+c是一次函数；若b=0,则y=c ，这是常数函数。 4、二次函数的识别方法： 看它是否是整式，如果不是整式，则必不是二次函数； 当它是整式时，再看它是否是一个二次的整式； 考虑其二次项的系数是否为0． 只有综合考虑以上三点，才能作出正确的判断。 例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋ 练习：1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝  例2．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 要点二、二次函数y=ax2的图象和性质 特征 二次函数的图像是一条抛物线 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 拓展 例3.抛物线不具备的性质是        A.开口向下 B.对称轴是轴 C.最高点是原点 D.与轴不相交  练习：1.抛物线（a＜0）的图线一定经过（　　） A.第一二象限 B. 第三四象限 C. 第一三象限 D. 第二四象限 例4.二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m　 　n（填“＞”或“＜”）． 练习：1. 把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1）y=3x2的图象是　　； （2）y=x2的图象是　　； （3）y=﹣x2的图象是　　； （4）y=x2的图象是　　（填序号①，②等）． 2.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 要点三、二次函数y=ax2+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0,k） （0,k） 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大。 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小。 最值 最小值k 最大值k 例5.抛物线的顶点坐标是(        ) A. B. C. D.  练习：1.二次函数y=3x2﹣8的图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　　，当x　 　时，y随x的增大而增大． 例6.抛物线y＝3x2-1（　　） A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点 C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点 练习：1.函数y=﹣x2+3的图象开口　　，顶点坐标为　　，对称轴为　　，与x轴的交点坐标　 ． 2.二次函数y=3x2﹣4的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（3，4） C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点 要点四、 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (,0) (,0) 对称轴 增减性 当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小 当时，随的增大而减小； 当，随的增大而增大 最值 当时，有最小值, 当时，有最大值, 例1.抛物线y=3（x+1）2的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　． 练习：1.在下列二次函数中，其图像的对称轴为直线x=-2的是（　　） A． B． C． D． 例2.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．最低点是 C．对称轴是直线 D．对称轴的右侧部分是上升的 例3.已知抛物线y=﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果 x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　） A．y1＜y2＜