第21章 一元二次方程 重难点总结讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

一元二次方程 考点一、一元二次方程概念 例1.下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．3x2﹣2x＝3（x2﹣2） C．x3﹣2x﹣4＝0 D．（x﹣1）2+1＝0 练习:1．下列是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 例2.是关于x的一元二次方程，则m的值是_________ 考点二、一元二次方程的解的及其应用 例1.若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2016的值为（　　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 例2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则方程一定有一根为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 练习：1.若是关于x的一元二次方程，则必有（ ） A．a=b=c B．一根为1 C．一根为﹣1 D．以上都不对 例3.已知是方程的一个根，则实数c的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 练习：1.已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为1的是　　 A． B． C． D． 例4.已知方程的解是，，则方程的解是　　 A．， B．x1=3，x2= -2 C．， D．x1=2，x2= -3 考点三、配方法的应用 例1.一元二次方程x2﹣6x-6＝0配方后化为（ ） A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=31. 练习：1.用配方法解方程x2﹣6x+4=0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2=13 B．（x+3）2=13 C．（x﹣3）2=5 D．（x+3）2=5 例2.对于任意实数，多项式的值是一个（ ） A.负数 B.非正数 C.正数 D.无法确定正负的数 练习：1.若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 2.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1， ∴x2+4x+5≥1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：-　　； （2）已知，求的值； （3）比较代数式与的大小． 考点四、方程解结合三角形 1.已知三角形的两边长分别是3和8，第三边长是一元二次方程的根．求此三角形的周长． 2、 等腰三角形的两边长之和为10，第三边长是方程的一根，则此三角形的底边长为__________ 考点五、根的判别式（△=b2-4ac） 判定根的情况：△＞0时，方程 。△=0时，方程 。 △＜0时，方程 。 例1.关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 练习：1.关于x的一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根 2.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 3.已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0下列说法正确的是（ ） A.当k=0时，方程无解 B.当k=1，方程有一个实数根 C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根 例2.若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是　　 A．m<0 B． C．m≤0 D．m≥0 练习:1.若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是　 　． 例3.已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 练习：1.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k=0 （1） 求证：方程有两个不相等的实数根 （2） 若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5. 当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 考点六、解方程（开平方法、配方法、因式分解法、公式法） 法、