3.2.2 函数的奇偶性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第3章 函数的概念与性质 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 3．2．2　函数的奇偶性 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 F(－x)＝F(x) y轴 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 F(－x)＝－F(x) 原点 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十八) 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 知识点　函数的奇偶性 1．偶函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且____________________ 成立，则称F(x)为偶函数． (2)图象特征：图象关于____对称． 2．奇函数 (1)定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且______________________成立，则称F(x)为奇函数． (2)图象特征：图象关于____对称． [点拨]　关于奇偶函数的两点说明 (1)奇偶函数定义的等价形式． 奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0． (2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称． 一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝eq \r(x) ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若对于定义域内的任意一个x，都有函数f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x A　[对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A．] 3．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 A　[f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，则f(a)＋f(－a)＝0．] 4．下列图象表示的函数是奇函数的是________________，是偶函数的是________________(填序号)． 解析：　①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数． 答案：　②④　①③ 探究点一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)； (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x＋4,x)，x>0，,－\f(x2－x＋4,x)，x<0.)) 解析：　(1)由1－x2≥0，得－1≤x≤1， 又|x＋2|－2≠0，∴x≠0，且x≠－4，因此函数f(x)的定义域为D＝{x|－1≤x≤1，且x≠0}， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称，且x＋2>0， ∴f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq \f(\r(1－x2),x)， 于是任取x∈D，都有f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．任取x∈D， 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－eq \f(（－x）2－（－x）＋4,－x)＝eq \f(x2＋x＋4,x)＝f(x)； 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝eq \f(（－x）2＋（－x）＋4,－x)＝－eq \f(x2－x＋4,x)＝f(x)． 综上可知，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x＋4,x)，x>0,－\f(x2－x＋4,x)，x<0))是偶函数． eq \a\vs4\al(方法技巧) 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 [注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．　　 即时练1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)． 解析：　(1)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， 又∵f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 探究点二　奇偶函数的图象 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使y＝f(x)<0的x的取值范围． 解析：　(1)由题意补全函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性； (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的图象； (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)应用类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．　　 即时练2．如图，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 A　[由奇函数的性质可知，f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2．] 探究点三　利用函数的奇偶性求参数 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________________，b＝________________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________________________． 解析：　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3)． 又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0． 答案：　(1)eq \f(1,3)　0　(2)0 eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　 即时练3．若函数f(x)＝eq \f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(3,4) D．1 A　[∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， ∴eq \f(1,1＋a)＝eq \f(1,3（1－a）)，∴1＋a＝3(1－a)， 解得a＝eq \f(1,2)，故选A．] 1．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数 ACD　[A项，若定义域不包含0，则图象与y轴不相交；C项，若定义域不包含0，则图象不过原点；D项，奇函数不一定是单调函数．故选ACD．] 2．(2021·武汉高一检测)函数f(x)＝eq \f(x＋2a＋3,x2＋8)为奇函数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) C　[由题意得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－eq \f(3,2)，此时f(x)＝eq \f(x,x2＋8)为奇函数．] 3．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________________，f(0)＝________________． 解析：　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0． 答案：　－2　0 4．已知函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)． (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 解析：　(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3， 所以a＝2>0满足题意． (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称． 又因为f(－x)＝－x＋eq \f(a,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． $$