3.2.1 函数的单调性与最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第3章 函数的概念与性质 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 3．2　函数的基本性质 3．2．1　函数的单调性与最值 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 f(x)≤f(a) 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 单调递增 单调递减 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 单调区间 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十七) 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第3章　函数的概念与性质 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．2．理解单调性的作用和实际意义． 知识点一　函数的最值 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集．如果有a∈D，使得不等式__________________对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． 依照上面，同样可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义．最大值和最小值统称为最值． [点拨]　(1)f(a)是f(x)的一个函数值，它是f(x)的值域中的一个元素． (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(a)(f(x)≥f(a))． 知识点二　增函数、减函数的概念 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集． (1)如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有____________，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上________，如图(1)所示； (2)如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有_____________，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上________，如图(2)所示． f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的________． [点拨]　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)任何函数都有最大(小)值．(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) (4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝eq \f(|x|,x) C．y＝－eq \f(x2,|x|) D．y＝x＋eq \f(x,|x|) CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝eq \f(|x|,x)＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－eq \f(x2,|x|)＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋eq \f(x,|x|)＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选CD．] 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) A．[－3，1]∪[1，4] B．[－5，－3]∪[－1，1] C．[－3，－1]，[1，4] D．[－5，－3]，[－1，1] C　[在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．] 4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,7－x，x∈[－4，1），))则f(x)的最大值为________________． 解析：　当x∈[1，2]时，f(x)单调递增，其最大值为f(2)＝10； 当x∈[－4，1)时，f(x)单调递减，其最大值为f(－4)＝11．故函数f(x)的最大值为11． 答案：　11 探究点一　函数单调性的证明 利用定义证明下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3在R上是增函数； (2)f(x)＝eq \r(x)在[0，＋∞)上是增函数． 证明：　(1)任取R上的两个实数x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝xeq \o\al(3,1)－xeq \o\al(3,2)＝(x1－x2)(xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2))＝(x1－x2)[(x1＋eq \f(1,2)x2)2＋eq \f(3,4)xeq \o\al(2,2)]， ∵x1<x2，∴x1－x2<0，又(x1＋eq \f(1,2)x2)2≥0，eq \f(3,4)xeq \o\al(2,2)≥0，且x1＝x2＝0时等号同时成立， ∴(x1＋eq \f(1,2)x2)2＋eq \f(3,4)xeq \o\al(2,2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝x3在R上是增函数． (2)任取[0，＋∞)上的两个实数x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \r(x1)－eq \r(x2) ＝eq \f(（\r(x1)－\r(x2)）（\r(x1)＋\r(x2)）,\r(x1)＋\r(x2)) ＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))． ∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，eq \r(x1)＋eq \r(x2)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)＝eq \r(x)在[0，＋∞)上是增函数． eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用定义证明函数单调性的4个步骤 即时练1．已知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0，f(3)＝1．试判断g(x)＝f(x)＋eq \f(1,f（x）)在(0，3]上的单调性，并加以证明． 解析：　函数g(x)在(0，3]上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2∈(0，3]，且x1<x2，则g(x1)－g(x2) ＝[f(x1)＋eq \f(1,f（x1）)]－[f(x2)＋eq \f(1,f（x2）)] ＝[f(x1)－f(x2)][1－eq \f(1,f（x1）f（x2）)]． 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x1)－f(x2)<0． 又f(x)>0，f(3)＝1， 所以0<f(x1)<f(x2)≤f(3)＝1， 则0<f(x1)f(x2)<1，eq \f(1,f（x1）f（x2）)>1， 即1－eq \f(1,f（x1）f（x2）)<0， 所以g(x1)－g(x2)>0，g(x1)>g(x2)． 故g(x)＝f(x)＋eq \f(1,f（x）)在(0，3]上单调递减． 探究点二　求函数的单调区间 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间和单调减区间． 解析：　y＝－x2＋2|x|＋3 ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2＋4，x≥0，,－（x＋1）2＋4，x<0，)) 函数图象如图所示． 由图象可知： 函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减． 所以函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 函数单调区间的两种求法 [注意]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．　　 即时练2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是________________________． 解析：　由图象知单调增区间为[－1．5，3]和[5，6]． 答案：　[－1．5，3]和[5，6] 探究点三　由函数单调性求参数的值(范围) (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________________________； (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________________________． 解析：　(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1． ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 答案：　(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1) eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． 即时练3．若函数f(x)＝eq \f(ax－1,x＋1)，x∈(－∞，－1)是减函数，则实数a的取值范围是________________． 解析：　f(x)＝eq \f(ax－1,x＋1)＝a－eq \f(a＋1,x＋1)． 设x1<x2<－1， 则f(x1)－f(x2)＝(a－eq \f(a＋1,x1＋1))－(a－eq \f(a＋1,x2＋1))＝eq \f(a＋1,x2＋1)－eq \f(a＋1,x1＋1)＝eq \f(（a＋1）（x1－x2）,（x1＋1）（x2＋1）)． ∵函数f(x)，x∈(－∞，－1)是减函数， ∴f(x1)－f(x2)>0． ∵x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1． 故实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：　(－∞，－1) 探究点四　函数的最值 已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)． (1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f(x)在[2，4]上的最值． 解析：　(1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(1,x1)－x2－eq \f(1,x2)＝(x1－x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－1）,x1x2)． ∵x2>x1>1，∴x1－x2<0， 又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0， 故(x1－x2)·eq \f(（x1x2－1）,x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f(x)在[2，4]上是增函数， ∴当x∈[2，4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)． 又f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，f(4)＝4＋eq \f(1,4)＝eq \f(17,4)， ∴f(x)在[2，4]上的最大值为eq \f(17,4)，最小值为eq \f(5,2)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．图象法求函数最值的一般步骤 2．单调性法求函数的最值 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(a)，最大值为ymax＝f(b)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值为ymin＝f(b)，最大值为ymax＝f(a)．　　 即时练4．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 C　[观察题中图象可知，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值，故选C．] 即时练5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0，2])有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A．4 B．6 C．1 D．2 B　[f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1(x∈[0，2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(2)＝8＋a＝6．] 1．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，3 B．0，2 C．－1，2 D．3，2 C　[当x∈[－2，2]时，由题图可知， x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1； x＝1时，f(x)的最大值为2．故选C．] 2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3a－1）x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　) A．[eq \f(1,8)，eq \f(1,3)) B．(0，eq \f(1,3)) C．[eq \f(1,8)，＋∞) D．(－∞，eq \f(1,8)]∪[eq \f(1,3)，＋∞) A　[要使f(x)是减函数，需满足： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,－a<0，,3a－1＋4a≥－a，))解得eq \f(1,8)≤a＜eq \f(1,3)．] 3．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，则实数m的取值范围是________________________________． 解析：　由函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，得m2>－m，结合二次函数y＝m2＋m的图象(图略)，解得m<－1或m>0． 答案：　(－∞，－1)∪(0，＋∞) 4．已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解析：　(1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2) ＝eq \f(3（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）)， 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数， 则f(x)max＝f(5)＝eq \f(4,7)，f(x)min＝f(3)＝eq \f(2,5)． $$