2.3.2 一元二次不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2．3．2　一元二次不等式的应用 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十三) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 1．理解题意，分析清楚量与量之间的关系； 2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； 3．解这个一元二次不等式得到实际问题的解． 1．若kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立(k为常数)，则k的取值范围是(　　) A．0≤k≤1 B．0<k<1 C．0<k≤1 D．k<0或k>1 A　[当k＝0时，显然8≥0恒成立； 当k≠0时，则k满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ≤0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,36k2－4k（k＋8）≤0，)) 解得0<k≤1，所以k的取值范围是0≤k≤1．故选A．] 2．某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10<x<20} B．{x|15≤x<20} C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20} B　[由题意可知x[30－2(x－15)]>400，则－2x2＋60x－400>0，即x2－30x＋200<0， ∴(x－10)(x－20)<0，解得10<x<20． 又∵每盏最低售价为15元， ∴15≤x<20．故选B．] 3．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，则m的取值范围为________________． 解析：　令y＝x2－2mx－1，易知x＝0时，y＝－1， 由二次函数的图象(图略)及题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12－2m×1－1>0，,m<1，))即m<0． 答案：　{m|m<0} 4．一元二次不等式ax2－2x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是________________． 解析：　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝（－2）2＋4a<0，)) 解得a<－1． 答案：　(－∞，－1) 探究点一　一元二次不等式在R上恒成立问题 若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解析：　要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 若m≠0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒－4<m<0． 所以－4<m≤0． eq \a\vs4\al(方法技巧) 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；)) (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))　　 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0；)) (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.)) 即时练1．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a＋1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为________________． 解析：　(1)若a2－1＝0，则a＝±1， 当a＝－1时，原不等式即为－1<0， 解集为R． 当a＝1时，原不等式即为2x＋1>0，解集为{x|x>－eq \f(1,2)}，与题意不符． (2)若a≠±1，则当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（a＋1）2＋4（a2－1）<0，,a2－1<0))时，不等式解集为R，解得－1<a<eq \f(3,5)． 综上，实数a的取值范围是{a|－1≤a<eq \f(3,5)}． 答案：　{a|－1≤a<eq \f(3,5)} 探究点二　在给定区间上的恒成立问题 若对于x∈[1，3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解析：　方法一：要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 就要使meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 令y＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1，3]． 当m>0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而增大， ∴ymax＝7m－6<0，∴0<m<eq \f(6,7)； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而减小， ∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0． 综上所述，m<eq \f(6,7)． 方法二：当x∈[1，3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<eq \f(6,x2－x＋1)． ∵函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)) 在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)， ∴只需m<eq \f(6,7)即可． (1)a>0时，ax2＋bx＋c<0在α≤x≤β时恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aα2＋bα＋c<0，,aβ2＋bβ＋c<0；)) (2)a<0时，ax2＋bx＋c>0在α≤x≤β时恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aα2＋bα＋c>0，,αβ2＋bβ＋c>0；)) (3)ax2＋bx＋c>0在α≤x≤β时恒成立⇔{x|α≤x≤β}⊆A，其中A是ax2＋bx＋c>0的解集．　　 解决一元二次不等式在某范围上恒成立问题，可结合二次函数的图象进行求解． 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 即时练2．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤eq \f(x2－2x＋5,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1)． ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋eq \f(4,x－1)≥2eq \r(（x－1）·\f(4,x－1))＝4(当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号)， ∴a≤4． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 探究点三　一元二次不等式的实际应用 某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq \f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq \f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解析：　(1)设每件定价为t元，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋eq \f(1,6)(x2－600)＋eq \f(x,5)有解， 等价于当x>25时，a≥eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)＋eq \f(1,5)有解． 由于eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)≥2 eq \r(\f(150,x)·\f(x,6))＝10，当且仅当eq \f(150,x)＝eq \f(x,6)，即x＝30时等号成立， 所以a≥10．2． 故当该商品改革后的销售量a至少达到10．2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． eq \a\vs4\al(方法技巧) 解不等式应用题的步骤 即时练3．(2021·北京高一月考)某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(600,x)－30))元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为(　　) A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位 D　[设每生产单位试剂的成本为y， 因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元， 职工的工资总额为7 500＋20x元，后续保养总费用为x(x＋eq \f(600,x)－30)元， 则y＝eq \f(50x＋7 500＋20x＋x2－30x＋600,x)＝x＋eq \f(8 100,x)＋40≥2eq \r(x·\f(8 100,x))＋40＝220， 当且仅当x＝eq \f(8 100,x)，即x＝90时取等号， 满足50≤x≤200， 所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选D．] 1．当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－4} B．{a|a>－4} C．{a|a>－12} D．{a|a<－12} D　[原不等式2x2－8x－4－a>0可化为a<2x2－8x－4，由题意，可知只需当1≤x≤4时，a小于y＝2x2－8x－4的最小值，易得当1≤x≤4时，y＝2x2－8x－4的最小值是－12，所以a<－12．故选D．] 2．(2021·河南平顶山高三月考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，则x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(c,a)<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－eq \f(1,2)<x<3 B．－eq \f(1,2)<x<0 C．－3<x<eq \f(1,2) D．－1<x<6 D　[∵若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))， ∴－eq \f(1,2)与3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0， ∴－eq \f(1,2)＋3＝－eq \f(b,a)，－eq \f(1,2)×3＝eq \f(c,a)， ∴b＝－eq \f(5,2)a，c＝－eq \f(3,2)a， ∴x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(c,a)<0可化为：x2－eq \f(5,2)x－eq \f(3,2)<0， 解得：－eq \f(1,2)<x<3， A、B、C、D四个选项中，只有选项D满足：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－1<x<6))真包含eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－\f(1,2)<x<3))， ∴x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(c,a)<0成立的一个必要不充分条件是D选项．故选D．] 3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为________________． 解析：　令y＝x2＋mx＋4． ∵y<0在[1，2]上恒成立． ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2． 如图， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0.)) ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 答案：　(－∞，－5) 答案：　(－∞，－5) 4．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析：　设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m， 宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600． 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100， 所以当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． $$