2.3.1 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 2．3　一元二次不等式 2．3．1　一元二次不等式及其解法 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 一个 2 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 R 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 ∅ ∅ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 合作探究 素能提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 　　 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 随堂演练 对点落实 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 课 时 作 业(十二) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 新 知 形 成 合 作 探 究 课 时 作 业 随 堂 演 练 数 学 必修 第一册 [课标解读]　1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一　一元二次不等式的概念 定义：一般地，只含有____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式． [点拨]　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0． 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 __________________________ {xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(, ,))x∈R且x≠－eq \f(b,2a)} __ {x|x<x1或x>x2} 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ______________________ __ __ {x|x1<x<x2} [点拨]　从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2＋5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，则必有a>0．(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．不等式2－x－x2>0的解集是(　　) A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－2<x<1} D　[不等式2－x－x2>0可化为x2＋x－2<0．分解因式可得(x－1)(x＋2)<0，对应方程的根为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2>0的解集是{x|－2<x<1}．] 3．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A．a2x2＋2≥0 B．eq \f(1,x2)<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x2＋1>0 C　[选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．] 4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，则不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集为____________________________． 解析：　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.)) ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，易知其解集为{x|－3<x<5}．故所求的不等式的解集为{x|－3<x<5}． 答案：　{x|－3<x<5} 探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法 (2021·河北石家庄市第二十二中学高一月考)求下列不等式的解集． (1)x2－5x＋6≤0； (2)－2x2＋5x－3≤0； (3)x2－6x＋9>0； (4)x2＋x＋1>0． 解析：　(1)原不等式即为(x－2)(x－3)≤0，解得2≤x≤3， 故原不等式的解集为{x|2≤x≤3}； (2)将原不等式变形为2x2－5x＋3≥0， 即(2x－3)(x－1)≥0，解得x≤1或x≥eq \f(3,2)， 故原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤1))))或eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2)))； (3)将原不等式变形为(x－3)2>0，解得x≠3，故原不等式的解集为{x|x≠3}； (4)对于不等式x2＋x＋1>0，Δ＝1－4<0，故原不等式的解集为R． eq \a\vs4\al(方法技巧) 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 即时练1．(2021·河南南阳高一月考)不等式(5－x)(x＋4)≥18的解集是(　　) A．[－1，2] B．[－2，1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) A　[原不等式可化为x2－x－2≤0， 即(x－2)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤2． 所以不等式的解集为[－1，2]．故选A．] 探究点二　分式不等式的解法 解下列关于x的不等式． (1)eq \f(4x＋2,3x－1)>0； (2)eq \f(3x－1,2－x)≥1． 解析：　(1)原不等式等价于(4x＋2)(3x－1)>0， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3)或x<－\f(1,2)))))． (2)原不等式可化为eq \f(4x－3,x－2)≤0， 所以原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（4x－3）（x－2）≤0，,x－2≠0，)) 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)≤x<2))))． eq \a\vs4\al(方法技巧) 简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 即时练2．不等式eq \f(1－x,x)≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x≥1} B　[原不等式可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）x≥0，,x≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,x≠0，))故其解集为{x|0<x≤1}，故选B．] 探究点三　含参数一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． 解析：　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1． ②当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq \f(1,a)或x>1． ③当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0． 若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解； 若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)<x<1； 若0<a<1，即eq \f(1,a)>1时，解得1<x<eq \f(1,a)． 综上可知，当a<0时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1))))； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))． eq \a\vs4\al(方法技巧) 含参数一元二次不等式的解法 即时练3．解关于x的不等式x2＋x－m(m－1)>0(m∈R)． 解析：　原不等式可以化为(x＋m)(x－m＋1)>0， 当－m>m－1，即m<eq \f(1,2)时，原不等式的解集为(－∞，m－1)∪(－m，＋∞)； 当－m＝m－1，即m＝eq \f(1,2)时，原不等式的解集为{x|x≠－eq \f(1,2)}； 当－m<m－1，即m>eq \f(1,2)时，原不等式的解集为(－∞，－m)∪(m－1，＋∞)． 探究点四　三个“二次”之间的关系 若关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))－eq \f(1,3)≤x≤2}，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集． 解析：　由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－eq \f(1,3)≤x≤2}，知a<0，且－eq \f(1,3)，2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a)，,－\f(1,3)×2＝\f(c,a)，))∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a， ∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为 (－eq \f(2,3)a)x2－(－eq \f(5,3)a)x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0． 又a<0，∴2x2－5x－3<0， 解方程2x2－5x－3＝0，得x1＝－eq \f(1,2)，x2＝3，结合二次函数y＝2x2－5x－3的图象知，所求不等式的解集为{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))－eq \f(1,2)<x<3}． eq \a\vs4\al(方法技巧) 一元二次不等式解集逆向应用的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．　　 即时练4．(2021·辽宁葫芦岛高一期中)已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是[－2，5]，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,5))) D．(－2，5) C　[由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(b,a)＝－2＋5，,\f(c,a)＝－2×5，))则b＝－3a，c＝－10a，从而cx2＋bx＋a<0等价于10x2＋3x－1<0，即(2x＋1)(5x－1)<0，解得－eq \f(1,2)<x<eq \f(1,5)．故选C．] 1．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ C　[①显然不符合要求；②中Δ＝(－2eq \r(5))2－4×eq \r(5)>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，符合要求；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，不符合要求．故选C．] 2．已知a<0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2>0的解集为(　　) A．{x|x<eq \f(2,a)或x>1} B．{x|eq \f(2,a)<x<1} C．{x|x<1或x>eq \f(2,a)} D．{x|1<x<eq \f(2,a)} B　[ax2－(2＋a)x＋2>0等价于(ax－2)(x－1)>0，∵a<0，∴(x－eq \f(2,a))(x－1)<0，解得eq \f(2,a)<x<1，故原不等式的解集为{x|eq \f(2,a)<x<1}．] 3．不等式eq \f(1,x－1)≥－1的解集是________________________． 解析：　∵eq \f(1,x－1)≥－1可化为eq \f(1,x－1)＋1≥0， ∴eq \f(x,x－1)≥0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－1）≥0，,x－1≠0，)) 解得x≤0或x>1， ∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}． 答案：　{x|x≤0或x>1} 4．(2021·河北石家庄市第二十二中学高一月考)若不等式ax2＋(1－a)x＋a－3≥－3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解析：　由题意可知，关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a≥0对一切实数x恒成立． 当a＝0时，则有x≥0，不符合题意； 当a≠0时，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（1－a）2－4a2＝－3a2－2a＋1≤0，))解得a≥eq \f(1,3)． 综上所述，a≥eq \f(1,3)． $$